Math Problem Statement

Diketahui (f o g)(x) = 9x2 - 6x - 3. Jika V -9 ≤ y ≤ 0, y E R) g(x) = 3x - 1, nilai dari f-(12) = ....

Solution

Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus menemukan f1(12)f^{-1}(12). Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Diketahui:

  1. (fg)(x)=9x26x3(f \circ g)(x) = 9x^2 - 6x - 3, yang artinya f(g(x))=9x26x3f(g(x)) = 9x^2 - 6x - 3.
  2. g(x)=3x1g(x) = 3x - 1, yang berarti g(x)g(x) adalah fungsi yang diterapkan sebelum ff.
  3. Rentang nilai yy diberikan sebagai 9y0-9 \leq y \leq 0.

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Menyusun Fungsi ff

Karena f(g(x))=9x26x3f(g(x)) = 9x^2 - 6x - 3, kita akan menggantikan g(x)=3x1g(x) = 3x - 1 ke dalam fungsi ff. Jadi kita perlu mencari fungsi f(y)f(y), di mana y=g(x)=3x1y = g(x) = 3x - 1.

Mari kita substitusikan y=3x1y = 3x - 1 ke dalam f(g(x))f(g(x)):

f(y)=9x26x3f(y) = 9x^2 - 6x - 3

Sekarang kita perlu mengubah xx dalam ekspresi f(y)f(y) menjadi fungsi dari yy. Mulai dengan menyelesaikan y=3x1y = 3x - 1 untuk xx:

y=3x1y = 3x - 1

y+1=3xy + 1 = 3x

x=y+13x = \frac{y + 1}{3}

Sekarang kita substitusikan x=y+13x = \frac{y + 1}{3} ke dalam ekspresi f(y)=9x26x3f(y) = 9x^2 - 6x - 3:

f(y)=9(y+13)26(y+13)3f(y) = 9\left(\frac{y + 1}{3}\right)^2 - 6\left(\frac{y + 1}{3}\right) - 3

2. Menyederhanakan Fungsi f(y)f(y)

Sekarang kita akan menyederhanakan ekspresi ini langkah demi langkah.

Pertama, kuadratkan (y+13)\left( \frac{y + 1}{3} \right):

(y+13)2=(y+1)29\left(\frac{y + 1}{3}\right)^2 = \frac{(y + 1)^2}{9}

Sekarang kalikan dengan 9:

9((y+1)29)=(y+1)29\left(\frac{(y + 1)^2}{9}\right) = (y + 1)^2

Kemudian, kalikan -6 dengan y+13\frac{y + 1}{3}:

6(y+13)=2(y+1)-6\left(\frac{y + 1}{3}\right) = -2(y + 1)

Sekarang susun semuanya dalam satu ekspresi:

f(y)=(y+1)22(y+1)3f(y) = (y + 1)^2 - 2(y + 1) - 3

Kita lanjutkan dengan menyederhanakan:

f(y)=(y2+2y+1)2(y+1)3f(y) = (y^2 + 2y + 1) - 2(y + 1) - 3

f(y)=y2+2y+12y23f(y) = y^2 + 2y + 1 - 2y - 2 - 3

f(y)=y24f(y) = y^2 - 4

3. Mencari f1(12)f^{-1}(12)

Sekarang kita tahu bahwa f(y)=y24f(y) = y^2 - 4. Kita akan mencari f1(12)f^{-1}(12), artinya kita mencari nilai yy di mana f(y)=12f(y) = 12.

y24=12y^2 - 4 = 12

Tambah 4 ke kedua sisi:

y2=16y^2 = 16

Ambil akar kuadrat:

y=4atauy=4y = 4 \quad \text{atau} \quad y = -4

Namun, berdasarkan informasi bahwa 9y0-9 \leq y \leq 0, maka kita pilih y=4y = -4.

Jawaban:

Jadi, f1(12)=4f^{-1}(12) = -4.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut tentang langkah-langkah tersebut atau memiliki pertanyaan lain?


Berikut 5 pertanyaan lanjutan yang relevan:

  1. Apa yang dimaksud dengan komposisi fungsi (fg)(x)(f \circ g)(x)?
  2. Bagaimana cara membuktikan bahwa suatu fungsi memiliki invers?
  3. Apa yang dimaksud dengan rentang fungsi dalam konteks invers?
  4. Apa yang membedakan antara fungsi kuadrat dan fungsi linear dalam komposisi?
  5. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat jika hasilnya memiliki dua solusi?

Tip: Jika Anda kesulitan menyederhanakan ekspresi, coba untuk mengerjakannya langkah demi langkah dan fokus pada satu bagian kecil sekaligus.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Compositional Functions
Inverse Functions
Algebra
Quadratic Equations

Formulas

(f o g)(x) = 9x^2 - 6x - 3
g(x) = 3x - 1
f(y) = y^2 - 4

Theorems

Inverse function theorem
Composition of functions

Suitable Grade Level

Grades 10-12