δίνεται η συνάρτηση f(x)=2+lnx και συνάρτηση g:R-{2}->R αν ισχύει (gof)(x)=x-(3/lnx), να βρείτε τη συνάρτηση g 

Για να βρούμε τη συνάρτηση \( g \), γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση:

\[
(g \circ f)(x) = x - \frac{3}{\ln x}
\]

Αυτό σημαίνει ότι:

\[
g(f(x)) = x - \frac{3}{\ln x}
\]

Δεδομένης της συνάρτησης \( f(x) = 2 + \ln x \), μπορούμε να αντικαταστήσουμε αυτήν τη σχέση στην παραπάνω εξίσωση:

\[
g(2 + \ln x) = x - \frac{3}{\ln x}
\]

Ο στόχος είναι να βρούμε τη συνάρτηση \( g \) σε σχέση με το επιχείρημα \( y = 2 + \ln x \).

### Βήμα 1: Εκφράζουμε το \( x \) σε σχέση με \( y \)

Από τον ορισμό της \( f(x) \), έχουμε:

\[
y = 2 + \ln x
\]

Αυτό σημαίνει:

\[
\ln x = y - 2
\]

Επομένως:

\[
x = e^{y-2}
\]

### Βήμα 2: Υπολογισμός της \( g(y) \)

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση, αντικαθιστούμε το \( x \) στην εξίσωση \( g(2 + \ln x) = x - \frac{3}{\ln x} \):

\[
g(y) = e^{y-2} - \frac{3}{y-2}
\]

Επομένως, η ζητούμενη συνάρτηση \( g \) είναι:

\[
g(y) = e^{y-2} - \frac{3}{y-2}
\]

### Συμπέρασμα

Η συνάρτηση \( g \) που ικανοποιεί τη δοσμένη σχέση είναι:

\[
g(y) = e^{y-2} - \frac{3}{y-2}
\]

Αν έχετε απορίες ή θέλετε περισσότερες λεπτομέρειες, ενημερώστε με.

---

**Σχετικές Ερωτήσεις:**

1. Πώς θα βρίσκαμε τη συνάρτηση \( g \) αν η \( f(x) \) είχε διαφορετική μορφή;
2. Πώς επηρεάζει η παρουσία του όρου \( \ln x \) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης;
3. Πώς μπορούμε να επαληθεύσουμε τη λύση μας ελέγχοντας το αποτέλεσμα;
4. Ποια είναι η σημασία της σύνθεσης συναρτήσεων στα μαθηματικά;
5. Πώς θα επηρεαζόταν η συνάρτηση \( g \) αν το \( (g \circ f)(x) \) είχε διαφορετική μορφή;

**Συμβουλή:** Όταν δουλεύετε με σύνθεση συναρτήσεων, είναι χρήσιμο να εκφράζετε τη μία συνάρτηση σε σχέση με την άλλη για να βρείτε τη σύνθεση τους.

Explore how to find function g for the composite function problem, where f(x) = 2 + ln(x) and (gof)(x) = x - 3/ln(x). Learn the step-by-step solution with detailed mathematical concepts such as composite functions and natural logarithm. Suitable for university-level mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation