δίνεται η συνάρτηση f(x)=2+lnx και συνάρτηση g:R-{2}->R α) να βρείτε το πεδίο ορισμού της gof β) αν επιπλέον ισχύει (gof)(x)=x-(3/lnx), να βρείτε τη συνάρτηση g γ)να μελετησετε την συνάρτηση g ως προς την μονοτονία χωρις παραγωγους σε καθένα απο τα διαστήματα (-infinity,2) και (2,+infinity)

Ας εξετάσουμε τα ερωτήματα ένα προς ένα:

### α) Πεδίο ορισμού της συνάρτησης \( g \circ f \)

Η σύνθεση \( g \circ f \) ορίζεται μόνο όπου και οι δύο συναρτήσεις \( f(x) \) και \( g(f(x)) \) είναι ορισμένες. Δεδομένου ότι \( f(x) = 2 + \ln(x) \), πρέπει πρώτα να προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της \( f(x) \).

- Η συνάρτηση \( \ln(x) \) ορίζεται μόνο για \( x > 0 \), επομένως το πεδίο ορισμού της \( f(x) \) είναι το \( (0, +\infty) \).

Τώρα, η συνάρτηση \( g \) ορίζεται για όλα τα \( y \) εκτός από το 2, δηλαδή \( g: \mathbb{R} - \{2\} \rightarrow \mathbb{R} \). Άρα, για να είναι ορισμένη η σύνθεση \( g(f(x)) \), πρέπει \( f(x) \neq 2 \).

Από την εξίσωση \( 2 + \ln(x) = 2 \), έχουμε:
\[
\ln(x) = 0 \Rightarrow x = e^0 = 1
\]
Επομένως, η συνάρτηση \( g \circ f \) δεν ορίζεται για \( x = 1 \).

**Άρα, το πεδίο ορισμού της \( g \circ f \) είναι το \( (0, 1) \cup (1, +\infty) \).**

### β) Εύρεση της συνάρτησης \( g(x) \)

Δίνεται ότι:
\[
(g \circ f)(x) = x - \frac{3}{\ln(x)}
\]
Αντικαθιστώντας \( f(x) = 2 + \ln(x) \) στην παραπάνω εξίσωση, έχουμε:
\[
g(2 + \ln(x)) = x - \frac{3}{\ln(x)}
\]
Για να βρούμε τη συνάρτηση \( g(y) \), θέτουμε \( y = 2 + \ln(x) \), άρα \( \ln(x) = y - 2 \). Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση:
\[
g(y) = e^{y-2} - \frac{3}{y-2}
\]

**Άρα, η συνάρτηση \( g(y) \) είναι:**
\[
g(y) = e^{y-2} - \frac{3}{y-2}
\]

### γ) Μελέτη της συνάρτησης \( g \) ως προς τη μονοτονία

Η συνάρτηση \( g(y) = e^{y-2} - \frac{3}{y-2} \) έχει δύο διαστήματα που πρέπει να εξετάσουμε: το \( (-\infty, 2) \) και το \( (2, +\infty) \).

1. **Στο διάστημα \( (-\infty, 2) \):**

   - Το \( y - 2 \) είναι αρνητικό.
   - Ο όρος \( e^{y-2} \) είναι θετικός και μικρότερος του 1.
   - Ο όρος \( \frac{3}{y-2} \) είναι αρνητικός και αυξάνεται σε απόλυτη τιμή καθώς το \( y \) πλησιάζει το 2 από αριστερά.
   
   Συνολικά, \( g(y) \) αυξάνεται στο διάστημα \( (-\infty, 2) \).

2. **Στο διάστημα \( (2, +\infty) \):**

   - Το \( y - 2 \) είναι θετικό.
   - Ο όρος \( e^{y-2} \) είναι μεγαλύτερος του 1 και αυξάνεται γρήγορα.
   - Ο όρος \( \frac{3}{y-2} \) είναι θετικός και μειώνεται καθώς το \( y \) απομακρύνεται από το 2.
   
   Συνολικά, \( g(y) \) αυξάνεται στο διάστημα \( (2, +\infty) \).

**Άρα, η συνάρτηση \( g(y) \) είναι γνησίως αύξουσα και στα δύο διαστήματα \( (-\infty, 2) \) και \( (2, +\infty) \).**

Θέλετε να δώσουμε περισσότερες λεπτομέρειες σε κάποιο από τα βήματα; Εδώ είναι 5 σχετικές ερωτήσεις για περαιτέρω εξάσκηση:

1. Πώς θα βρούμε το πεδίο ορισμού μιας άλλης σύνθετης συνάρτησης όπως η \( h(f(x)) \);
2. Τι επιπλέον πληροφορίες μπορεί να μας δώσει η μελέτη της δεύτερης παραγώγου για τη συνάρτηση \( g(y) \);
3. Πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της μονοτονίας για να βρούμε ακρότατα σημεία της συνάρτησης;
4. Πώς θα μπορούσαμε να μελετήσουμε τη συνάρτηση \( f(x) = x - \frac{3}{\ln(x)} \) σε σχέση με την κυρτότητα;
5. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της συνάρτησης \( g(y) \) και τι σημαίνει για τα διαστήματα της μονοτονίας;

**Tip:** Η μελέτη της μονοτονίας μιας συνάρτησης μπορεί συχνά να γίνει χωρίς παράγωγους, εξετάζοντας την συμπεριφορά των όρων και τα όρια.

Explore the composition of functions problem where g(f(x)) = x - (3/lnx). Understand how to determine the domain of g(f(x)), find the function g(x), and analyze its monotonicity without derivatives. Suitable for university-level mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation