Ας εξετάσουμε τα ερωτήματα ένα προς ένα:

α) Πεδίο ορισμού της συνάρτησης $g \circ f$

Η σύνθεση $g \circ f$ ορίζεται μόνο όπου και οι δύο συναρτήσεις $f(x)$ και $g(f(x))$ είναι ορισμένες. Δεδομένου ότι $f(x) = 2 + \ln(x)$, πρέπει πρώτα να προσδιορίσουμε το πεδίο ορισμού της $f(x)$.

• Η συνάρτηση $\ln(x)$ ορίζεται μόνο για $x > 0$, επομένως το πεδίο ορισμού της $f(x)$ είναι το $(0, +\infty)$.

Τώρα, η συνάρτηση $g$ ορίζεται για όλα τα $y$ εκτός από το 2, δηλαδή $g: \mathbb{R} - \{2\} \rightarrow \mathbb{R}$. Άρα, για να είναι ορισμένη η σύνθεση $g(f(x))$, πρέπει $f(x) \neq 2$.

Από την εξίσωση $2 + \ln(x) = 2$, έχουμε: $\ln(x) = 0 \Rightarrow x = e^0 = 1$ Επομένως, η συνάρτηση $g \circ f$ δεν ορίζεται για $x = 1$.

Άρα, το πεδίο ορισμού της $g \circ f$ είναι το $(0, 1) \cup (1, +\infty)$.

β) Εύρεση της συνάρτησης $g(x)$

Δίνεται ότι: $(g \circ f)(x) = x - \frac{3}{\ln(x)}$ Αντικαθιστώντας $f(x) = 2 + \ln(x)$ στην παραπάνω εξίσωση, έχουμε: $g(2 + \ln(x)) = x - \frac{3}{\ln(x)}$ Για να βρούμε τη συνάρτηση $g(y)$, θέτουμε $y = 2 + \ln(x)$, άρα $\ln(x) = y - 2$. Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση: $g(y) = e^{y-2} - \frac{3}{y-2}$

Άρα, η συνάρτηση $g(y)$ είναι: $g(y) = e^{y-2} - \frac{3}{y-2}$

γ) Μελέτη της συνάρτησης $g$ ως προς τη μονοτονία

Η συνάρτηση $g(y) = e^{y-2} - \frac{3}{y-2}$ έχει δύο διαστήματα που πρέπει να εξετάσουμε: το $(-\infty, 2)$ και το $(2, +\infty)$.

1. Στο διάστημα $(-\infty, 2)$:

   • Το $y - 2$ είναι αρνητικό.
   • Ο όρος $e^{y-2}$ είναι θετικός και μικρότερος του 1.
   • Ο όρος $\frac{3}{y-2}$ είναι αρνητικός και αυξάνεται σε απόλυτη τιμή καθώς το $y$ πλησιάζει το 2 από αριστερά.

   Συνολικά, $g(y)$ αυξάνεται στο διάστημα $(-\infty, 2)$.

2. Στο διάστημα $(2, +\infty)$:

   • Το $y - 2$ είναι θετικό.
   • Ο όρος $e^{y-2}$ είναι μεγαλύτερος του 1 και αυξάνεται γρήγορα.
   • Ο όρος $\frac{3}{y-2}$ είναι θετικός και μειώνεται καθώς το $y$ απομακρύνεται από το 2.

   Συνολικά, $g(y)$ αυξάνεται στο διάστημα $(2, +\infty)$.

Άρα, η συνάρτηση $g(y)$ είναι γνησίως αύξουσα και στα δύο διαστήματα $(-\infty, 2)$ και $(2, +\infty)$.

Θέλετε να δώσουμε περισσότερες λεπτομέρειες σε κάποιο από τα βήματα; Εδώ είναι 5 σχετικές ερωτήσεις για περαιτέρω εξάσκηση:

1. Πώς θα βρούμε το πεδίο ορισμού μιας άλλης σύνθετης συνάρτησης όπως η $h(f(x))$;
2. Τι επιπλέον πληροφορίες μπορεί να μας δώσει η μελέτη της δεύτερης παραγώγου για τη συνάρτηση $g(y)$;
3. Πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της μονοτονίας για να βρούμε ακρότατα σημεία της συνάρτησης;
4. Πώς θα μπορούσαμε να μελετήσουμε τη συνάρτηση $f(x) = x - \frac{3}{\ln(x)}$ σε σχέση με την κυρτότητα;
5. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της συνάρτησης $g(y)$ και τι σημαίνει για τα διαστήματα της μονοτονίας;

Tip: Η μελέτη της μονοτονίας μιας συνάρτησης μπορεί συχνά να γίνει χωρίς παράγωγους, εξετάζοντας την συμπεριφορά των όρων και τα όρια.