Когда две плоскости пересекаются, их пересечение образует прямую. Чтобы найти направляющий вектор этой прямой, мы используем векторное произведение нормальных векторов обеих плоскостей. Процесс выглядит так:

1. Найти нормальные векторы плоскостей

Каждая плоскость задается уравнением вида: $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ Здесь $\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)$ — нормальные векторы плоскостей.

2. Взять векторное произведение нормальных векторов

Направляющий вектор прямой пересечения можно найти как: $\vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ Формула для векторного произведения:

\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \end{vmatrix}$$ Где $$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$$ — единичные векторы по осям $$x, y, z$$. Разложив определитель, мы получаем: $$\vec{d} = \big( B_1C_2 - B_2C_1, C_1A_2 - C_2A_1, A_1B_2 - A_2B_1 \big)$$ ### 3. Интерпретация Полученный вектор $$\vec{d}$$ будет направляющим вектором прямой пересечения. --- ### Пример: Пусть даны плоскости: 1. $$2x + 3y - z + 4 = 0$$ (нормальный вектор $$\vec{n}_1 = (2, 3, -1)$$) 2. $$x - 2y + 4z - 5 = 0$$ (нормальный вектор $$\vec{n}_2 = (1, -2, 4)$$). Вычислим направляющий вектор: $$\vec{d} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \big( 3 \cdot 4 - (-2)(-1), - (2 \cdot 4 - 1 \cdot (-1)), 2(-2) - 3 \cdot 1 \big)$$ $$\vec{d} = \big( 12 - 2, -(8 + 1), -4 - 3 \big) = (10, -9, -7)$$ Направляющий вектор прямой пересечения: $$\vec{d} = (10, -9, -7)$$. --- ### Хотите задать вопросы или получить дополнительные пояснения? 1. Как найти точку, лежащую на прямой пересечения? 2. Почему векторное произведение нормальных векторов дает направляющий вектор? 3. Можно ли найти прямую пересечения с помощью параметрических уравнений? 4. Что делать, если плоскости параллельны или совпадают? 5. Как проверить, что найденный вектор действительно направляющий? **Совет:** Всегда проверяйте, что нормальные векторы не коллинеарны. Если они коллинеарны, плоскости либо параллельны, либо совпадают.