Давайте найдем производные для каждой из данных функций.

1) $y = \frac{e^x}{\sqrt{x}}$

Применим правило дифференцирования частного. Напоминаю, что если $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, то производная будет: $y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ В данном случае:

• $f(x) = e^x$, а $f'(x) = e^x$
• $g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$, а $g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Подставим в формулу: $y' = \frac{e^x \cdot \sqrt{x} - e^x \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2}}{(\sqrt{x})^2}$ Упростим: $y' = \frac{e^x \sqrt{x} - \frac{1}{2} e^x x^{-1/2}}{x}$ $y' = \frac{e^x}{x} \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2x} \right)$

2) $y = \frac{\tan(x)}{x^2}$

Используем правило частного. Пусть $f(x) = \tan(x)$, а $g(x) = x^2$, тогда: $y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

• $f'(x) = \sec^2(x)$
• $g'(x) = 2x$

Подставим: $y' = \frac{\sec^2(x) \cdot x^2 - \tan(x) \cdot 2x}{x^4}$ Упростим: $y' = \frac{x^2 \sec^2(x) - 2x \tan(x)}{x^4}$ $y' = \frac{\sec^2(x)}{x^2} - \frac{2 \tan(x)}{x^3}$

3) $y = \frac{16 \cos(x)}{5 \ln(x)}$

Здесь мы используем правило частного:

• $f(x) = 16 \cos(x)$, а $f'(x) = -16 \sin(x)$
• $g(x) = 5 \ln(x)$, а $g'(x) = \frac{5}{x}$

Подставим: $y' = \frac{-16 \sin(x) \cdot 5 \ln(x) - 16 \cos(x) \cdot 5 \cdot \frac{1}{x}}{(5 \ln(x))^2}$ Упростим: $y' = \frac{-80 \sin(x) \ln(x) - \frac{80 \cos(x)}{x}}{25 \ln^2(x)}$ $y' = \frac{-80 \sin(x) \ln(x) - \frac{80 \cos(x)}{x}}{25 \ln^2(x)}$

4) $y = \frac{x^2 \sin(x)}{\sqrt{x}}$

Применим правило частного:

• $f(x) = x^2 \sin(x)$, а $f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)$
• $g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$, а $g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Подставим: $y' = \frac{(2x \sin(x) + x^2 \cos(x)) \cdot \sqrt{x} - x^2 \sin(x) \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2}}{x}$ Упростим: $y' = \frac{(2x \sin(x) + x^2 \cos(x)) x^{1/2} - \frac{1}{2} x^{3/2} \sin(x)}{x}$ $y' = \frac{x^{3/2} (2 \sin(x) + x \cos(x)) - \frac{1}{2} x^{3/2} \sin(x)}{x}$ $y' = \frac{x^{3/2}}{x} \left( 2 \sin(x) + x \cos(x) - \frac{1}{2} \sin(x) \right)$ $y' = x^{1/2} \left( \frac{3}{2} \sin(x) + x \cos(x) \right)$

---

Если вам нужно подробное объяснение по какой-то из производных или других шагов, напишите!

Дополнительные вопросы:

1. Как вычислять производные для более сложных функций?
2. Как использовать правило цепочки для дифференцирования сложных функций?
3. Какие существуют методы нахождения производных для функций с несколькими переменными?
4. Как интерпретировать результат производной в контексте геометрии и физики?
5. Какую роль играют производные в анализе поведения функций (например, максимумы и минимумы)?

Совет:

При дифференцировании сложных функций важно помнить о правилах дифференцирования частного и произведения, а также о возможности применения метода цепочки для сложных функций.