28.  Hallar el valor de  en la ecuación  para que las dos raíces sean números recíprocos.

Para que las dos raíces de una ecuación sean números recíprocos, si denotamos las raíces por \( r_1 \) y \( r_2 \), entonces se debe cumplir que \( r_1 \times r_2 = 1 \).

Consideremos la ecuación cuadrática general:

\[
ax^2 + bx + c = 0
\]

Las raíces de esta ecuación están dadas por las fórmulas:

\[
r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}
\]
\[
r_1 \times r_2 = \frac{c}{a}
\]

Dado que queremos que las raíces sean recíprocas, debemos tener:

\[
r_1 \times r_2 = 1
\]

Así que podemos establecer que:

\[
\frac{c}{a} = 1
\]

De esta ecuación, se obtiene:

\[
c = a
\]

Por lo tanto, el valor que debe tomar \( c \) para que las dos raíces sean números recíprocos es igual a \( a \). 

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo influye el valor de \( b \) en la ecuación si las raíces son recíprocas?
2. ¿Qué sucede si \( c \) no es igual a \( a \)? ¿Las raíces podrían seguir siendo recíprocas?
3. ¿Cómo se aplica la condición de reciprocidad a una ecuación cúbica?
4. ¿Qué relación tienen las raíces de una ecuación cuadrática con sus coeficientes?
5. ¿Cómo verificar si las raíces son recíprocas en una ecuación cuadrática dada?

**Tip:** Al resolver ecuaciones cuadráticas, siempre verifica las condiciones de las raíces usando las relaciones conocidas para \( r_1 + r_2 \) y \( r_1 \times r_2 \).

Learn how to determine the value of c in a quadratic equation to ensure reciprocal roots. This problem explores the conditions under which quadratic roots are reciprocal, using Vieta's formulas and the relationship between quadratic coefficients and roots. Suitable for high school students studying quadratic equations.

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