Zadana je funkcija
f(x)=xlnx−x.

Odredite jednadžbu tangente i normale u točki s apscisom x1=1

.

Upišite jednadžbu tangente:

Funkcija koja nam je zadana je \( f(x) = x \ln x - x \). Da bismo odredili jednadžbu tangente u točki \( x_1 = 1 \), moramo pronaći derivaciju funkcije \( f(x) \) i vrednovati je u toj točki. 

### 1. Korak: Izračun derivacije funkcije \( f(x) \)
Derivaciju \( f(x) \) izračunavamo koristeći pravila deriviranja:

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (x \ln x - x)
\]

Primijenimo pravilo deriviranja produkta i derivaciju funkcije \( x \):

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (x \ln x) - \frac{d}{dx} x = \ln x + 1 - 1 = \ln x
\]

Dakle, derivacija funkcije je:

\[
f'(x) = \ln x
\]

### 2. Korak: Vrednovanje derivacije u točki \( x_1 = 1 \)

Izračunajmo \( f'(1) \):

\[
f'(1) = \ln(1) = 0
\]

### 3. Korak: Izračunavanje vrijednosti funkcije u točki \( x_1 = 1 \)

Izračunajmo \( f(1) \):

\[
f(1) = 1 \cdot \ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1
\]

### 4. Korak: Nalaženje jednadžbe tangente

Jednadžba tangente u točki \( x_1 = 1 \) može se napisati u obliku:

\[
y - f(x_1) = f'(x_1)(x - x_1)
\]

Uvrstimo poznate vrijednosti:

\[
y - (-1) = 0 \cdot (x - 1)
\]

\[
y + 1 = 0
\]

Dakle, jednadžba tangente je:

\[
y = -1
\]

---

Da li želite dodatne detalje ili imate još neko pitanje?

Evo nekoliko srodnih pitanja:

1. Kako izračunati jednadžbu normale na funkciju u točki \( x_1 = 1 \)?
2. Koja je interpretacija nagiba tangente kada je \( f'(x) = 0 \)?
3. Što znači kada je derivacija funkcije jednaka nuli u nekoj točki?
4. Kako grafički izgleda funkcija \( f(x) = x \ln x - x \) i njena tangenta u točki \( x = 1 \)?
5. Možemo li primijeniti ovaj postupak na bilo koju funkciju i točku?

**Savjet:** Uvijek provjerite svoje rezultate vrednovanjem dobivene jednadžbe na početnim uvjetima.

Learn how to find the tangent line equation for the function f(x) = x ln x - x at the point x = 1. This problem involves calculus concepts such as derivatives and tangent lines. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation