Math Problem Statement

Solution

要找到曲线 y=ex+xy = e^x + x 在点 (0,1) 处的切线也是曲线 y=ln(x+1)+ay = \ln(x+1) + a 的切线,则需要找到该切线的斜率,并确定 aa 的值。

步骤:

  1. 计算 y=ex+xy = e^x + xx=0x = 0 处的切线斜率:

    计算函数 y=ex+xy = e^x + xx=0x = 0 处的导数: y=ex+1y' = e^x + 1x=0x = 0 时,斜率 y=e0+1=1+1=2y' = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2

    所以,曲线 y=ex+xy = e^x + x 在点 (0,1) 处的切线的斜率是 2。

  2. 计算 y=ln(x+1)+ay = \ln(x+1) + ax=0x = 0 处的切线斜率:

    计算函数 y=ln(x+1)+ay = \ln(x+1) + ax=0x = 0 处的导数: y=1x+1y' = \frac{1}{x+1}x=0x = 0 时,斜率 y=10+1=1y' = \frac{1}{0+1} = 1

    为了使切线相同,其斜率必须匹配,因此 y=ln(x+1)+ay = \ln(x+1) + ax=0x = 0 处的斜率也应该是 2,但根据计算它是 1。我们需要检查点 (0,1) 是否在两条切线上一致,考虑 aa 的值。

  3. 匹配切线方程:

    • 曲线 y=ex+xy = e^x + xx=0x = 0 处的切线方程为: y1=2(x0)    y=2x+1y - 1 = 2(x - 0) \implies y = 2x + 1

    • 曲线 y=ln(x+1)+ay = \ln(x+1) + ax=0x = 0 处的切线方程为: y=ln(x+1)+ay = \ln(x+1) + ax=0x = 0 时,点 (0,1) 代入得: 1=ln(1)+a    1=0+a    a=11 = \ln(1) + a \implies 1 = 0 + a \implies a = 1

所以,aa 的值为 1。

答案:

a=1a = 1

您是否需要更多详细解释或有其他问题?

以下是您可能会问的 5 个问题:

  1. 如何计算曲线在特定点的切线方程?
  2. 为什么需要匹配斜率和切线方程?
  3. 对数函数的导数是如何计算的?
  4. 指数函数的导数是如何计算的?
  5. 如何确定不同曲线的切线相同?

提示:在找到曲线的切线时,首先计算导数以确定斜率,然后使用点斜式方程确定切线方程。

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Exponential Functions
Logarithmic Functions
Derivatives
Tangent Lines

Formulas

Derivative of e^x
Derivative of ln(x+1)
Point-slope form of a line

Theorems

-

Suitable Grade Level

Grades 11-12