tentukan titik dan jenis stasioner dari f(x) = 1/3x³-x²-3x + 6

Untuk menentukan titik dan jenis stasioner dari fungsi \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 6 \), kita perlu mengikuti beberapa langkah:

### Langkah 1: Mencari Turunan Pertama
Turunan pertama \( f'(x) \) dari fungsi \( f(x) \) diperlukan untuk menemukan titik-titik stasioner. Titik stasioner terjadi ketika \( f'(x) = 0 \).

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 6 \right)
\]
\[
f'(x) = x^2 - 2x - 3
\]

### Langkah 2: Menyelesaikan \( f'(x) = 0 \)
Untuk menemukan titik-titik stasioner, kita selesaikan persamaan \( f'(x) = 0 \):

\[
x^2 - 2x - 3 = 0
\]

Kita faktorkan persamaan kuadrat ini:

\[
(x - 3)(x + 1) = 0
\]

Dari sini, kita mendapatkan dua nilai \( x \):

\[
x = 3 \quad \text{atau} \quad x = -1
\]

Jadi, titik-titik stasioner berada pada \( x = 3 \) dan \( x = -1 \).

### Langkah 3: Menentukan Jenis Titik Stasioner
Untuk menentukan jenis titik stasioner (minimum, maksimum, atau titik belok), kita perlu melihat tanda turunan kedua \( f''(x) \) pada masing-masing titik stasioner.

Turunan kedua dari \( f(x) \) adalah:

\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x - 3) = 2x - 2
\]

Sekarang kita evaluasi \( f''(x) \) pada titik-titik stasioner:

- Untuk \( x = 3 \):
  \[
  f''(3) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4
  \]
  Karena \( f''(3) > 0 \), maka \( x = 3 \) adalah titik minimum lokal.

- Untuk \( x = -1 \):
  \[
  f''(-1) = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4
  \]
  Karena \( f''(-1) < 0 \), maka \( x = -1 \) adalah titik maksimum lokal.

### Kesimpulan
- Titik stasioner pada \( x = 3 \) adalah **titik minimum lokal**.
- Titik stasioner pada \( x = -1 \) adalah **titik maksimum lokal**.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lainnya? 

Berikut beberapa pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara memverifikasi hasil ini dengan metode lain?
2. Apa arti geometris dari turunan pertama dan kedua?
3. Bagaimana cara menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi ini?
4. Apa hubungan antara titik stasioner dan kurva grafik fungsi?
5. Bagaimana turunan digunakan dalam masalah optimasi?

**Tip:** Ketika Anda menemukan turunan kedua, itu memberikan informasi langsung tentang kelengkungan grafik di sekitar titik stasioner, membantu Anda mengidentifikasi apakah itu minimum atau maksimum.

Learn how to find stationary points of the function f(x) = 1/3x³ - x² - 3x + 6 using calculus. This problem covers the calculation of first and second derivatives and their application to determine local minima and maxima. Suitable for college-level students and calculus enthusiasts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation