面積が200㎡の長方形の土地がある。この土地の1辺を5m伸ばし、他辺を2m縮めても面積は変わらない。この土地の2辺の長さを求めよ。

この問題では、元の長方形の面積が200㎡であり、1辺を5m伸ばし、もう1辺を2m縮めても面積が変わらないという条件が与えられています。これをもとに、元の長方形の2辺の長さを求める方程式を立てて解いていきます。

### 解法

1. 元の長方形の一辺を \(x\) もう一辺を \(y\) とします。
   \[
   x \cdot y = 200 \quad \text{(元の面積)}
   \]

2. 1辺を5m伸ばし、他辺を2m縮めると、新しい長方形の辺の長さは \(x + 5\) と \(y - 2\) になります。このときも面積は変わらないので、以下の式が成り立ちます。
   \[
   (x + 5)(y - 2) = 200
   \]

3. まず、与えられた式を展開します。
   \[
   (x + 5)(y - 2) = xy - 2x + 5y - 10
   \]
   これが面積200と等しいので、
   \[
   xy - 2x + 5y - 10 = 200
   \]
   ここで、 \(xy = 200\) を代入すると、
   \[
   200 - 2x + 5y - 10 = 200
   \]
   これを整理すると、
   \[
   -2x + 5y = 10
   \]
   となります。

4. 今、以下の2つの式を持っています。
   \[
   \begin{aligned}
   x \cdot y &= 200 \quad \text{(1)} \\
   -2x + 5y &= 10 \quad \text{(2)}
   \end{aligned}
   \]

   これらを連立方程式として解きます。

### 連立方程式の解法

(1)式から \(y = \frac{200}{x}\) と表すことができ、これを(2)式に代入します。
\[
-2x + 5 \left(\frac{200}{x}\right) = 10
\]
これを解きます。

まず、分数を処理するために \(x\) を両辺に掛けます。
\[
-2x^2 + 1000 = 10x
\]
これを整理すると、
\[
2x^2 + 10x - 1000 = 0
\]
よって、解の公式を使って \(x\) を求めます。
\[
x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1000)}}{2 \cdot 2}
\]
\[
x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 8000}}{4}
\]
\[
x = \frac{-10 \pm \sqrt{8100}}{4}
\]
\[
x = \frac{-10 \pm 90}{4}
\]
\[
x = \frac{-10 + 90}{4} \quad \text{または} \quad x = \frac{-10 - 90}{4}
\]
\[
x = \frac{80}{4} = 20 \quad \text{または} \quad x = \frac{-100}{4} = -25
\]
長さが負になることはないので、 \(x = 20\) です。

5. \(x = 20\) を (1)式に代入して \(y\) を求めます。
\[
20 \cdot y = 200
\]
\[
y = \frac{200}{20} = 10
\]

### 結論
元の長方形の辺の長さは、20m と 10m です。

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質問や詳細を確認したい点はありますか？次のステップとして関連する質問を5つ挙げます。

1. 長方形の周の長さを求めるにはどうすればよいでしょうか？
2. 長方形の対角線の長さを求める公式は何ですか？
3. 面積が200㎡以外の条件でも同様の方法で解けますか？
4. 1辺を伸ばしたときに面積が増加する場合、どう解きますか？
5. 長方形を正方形にするためには、どのような操作が必要ですか？

**Tip:** 連立方程式を解くとき、代入法や加減法を使うことで効率的に解けます。

Solve a problem involving a 200㎡ rectangle where one side is extended by 5 meters and the other shortened by 2 meters. Learn how to use algebra, simultaneous equations, and the quadratic formula to find the side lengths. Suitable for students in Grades 9-11.

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