Для поиска ненулевого вектора, перпендикулярного двум заданным векторам $\mathbf{a} = (-3, -2, -1)$ и $\mathbf{b} = (-5, -1, -1)$, можно воспользоваться векторным произведением.

Алгоритм:

1. Векторное произведение двух векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ дает вектор $\mathbf{c}$, который ортогонален обоим.

2. Формула для векторного произведения:

   \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & -2 & -1 \\ -5 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Здесь $$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$$ — единичные ортогональные векторы.

3. Развернем определитель:

   \mathbf{i} \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -3 & -2 \\ -5 & -1 \end{vmatrix}$$

4. Вычислим каждую минорную матрицу:

   • Для $\mathbf{i}$: $\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (-2)(-1) - (-1)(-1) = 2 - 1 = 1$
   • Для $\mathbf{j}$: $\begin{vmatrix} -3 & -1 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} = (-3)(-1) - (-1)(-5) = 3 - 5 = -2$
   • Для $\mathbf{k}$: $\begin{vmatrix} -3 & -2 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} = (-3)(-1) - (-2)(-5) = 3 - 10 = -7$

5. Собираем результат: $\mathbf{c} = 1\mathbf{i} - (-2)\mathbf{j} - 7\mathbf{k}$ $\mathbf{c} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 7\mathbf{k}$

Ответ:

Ненулевой вектор, перпендикулярный обоим векторам: $\mathbf{c} = (1, 2, -7)$

Хотите более детальный разбор или есть вопросы? 😊

---

Вопросы для размышления:

1. Что такое векторное произведение и как оно связано с площадью параллелограмма?
2. Можно ли найти больше одного ненулевого вектора, перпендикулярного заданным?
3. Как проверить, что полученный вектор действительно перпендикулярен?
4. Как векторное произведение связано с физическими приложениями (например, момент силы)?
5. В каких еще задачах применяются ортогональные векторы?

Совет:

Если вычисления выполняются вручную, старайтесь проверять промежуточные шаги, чтобы избежать ошибок с отрицательными числами.