Vi har funktionen $f(x) = x^2 - 2x + 4$ och ska finna lokala maximivärden, minimivärden samt största och minsta värde.

1. Lokala extrempunkter (Maxima och Minima)

För att hitta de lokala extrempunkterna beräknar vi derivatan av funktionen och sätter den lika med noll:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x + 4) = 2x - 2$

Sätt derivatan lika med noll:

$2x - 2 = 0$

Lös för $x$:

$x = 1$

Nu behöver vi undersöka om denna punkt är ett lokalt maximum eller minimum genom att kolla tecknet på andraderivatan:

$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(x^2 - 2x + 4) = 2$

Eftersom andraderivatan $f''(1) = 2$ är positiv, innebär det att punkten $x = 1$ är ett lokalt minimum.

2. Lokalt minimivärde

För att hitta det lokala minimivärdet, sätter vi in $x = 1$ i den ursprungliga funktionen:

$f(1) = 1^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$

Det lokala minimivärdet är alltså $f(1) = 3$.

3. Största och minsta värde

Eftersom $f(x) = x^2 - 2x + 4$ är en parabel som öppnar uppåt (vilket vi vet eftersom koefficienten för $x^2$ är positiv), saknar funktionen ett lokalt maximivärde.

Det finns ingen övre gräns för $f(x)$, men det finns en undre gräns som motsvarar det lokala minimivärdet vid $x = 1$.

Slutsats:

• Lokalt minimum: $x = 1$, $f(1) = 3$
• Inget lokalt maximum
• Minsta värde: 3 (vid $x = 1$)
• Största värde: Funktionen har inget största värde eftersom den går mot oändligheten när $x$ går mot oändligheten.

Vill du ha fler detaljer eller har du några frågor?

Relativa frågor:

1. Hur beräknas derivatan för en kvadratisk funktion?
2. Vad betyder det om andraderivatan är positiv?
3. Hur kan man avgöra om en funktion har ett globalt maximum eller minimum?
4. Kan en funktion ha både ett lokalt och globalt minimum?
5. Varför har funktionen $f(x) = x^2 - 2x + 4$ inget lokalt maximum?
6. Hur skulle grafen för funktionen $f(x) = x^2 - 2x + 4$ se ut?
7. Hur förändras minimivärdet om vi ändrar konstanten i funktionen?
8. Vad är skillnaden mellan lokala och globala extremvärden?

Tips: Använd andraderivatan för att snabbt avgöra om en kritisk punkt är ett maximum eller minimum.