Найдем точку максимума функции $y = x^2(x - 4)^2$. Для этого проведем следующий анализ:

1. Найдем первую производную $y'(x)$.

Функция $y(x) = x^2 (x - 4)^2$. Используем правило произведения и производную степенной функции:

[ y'(x) = \frac{d}{dx}[x^2] \cdot (x - 4)^2 + x^2 \cdot \frac{d}{dx}[(x - 4)^2]. ]

Рассчитаем каждую часть:

• Производная $x^2$ равна $2x$,
• Производная $(x - 4)^2$ равна $2(x - 4)$.

Подставим их в формулу: $y'(x) = 2x(x - 4)^2 + x^2 \cdot 2(x - 4).$

Сгруппируем: $y'(x) = 2x(x - 4)\left[(x - 4) + x\right].$

Упростим выражение в скобках: $y'(x) = 2x(x - 4)(2x - 4).$

2. Найдем критические точки.

Критические точки находятся при $y'(x) = 0$: $2x(x - 4)(2x - 4) = 0.$

Разложим:

• $2x = 0$ $\Rightarrow x = 0$,
• $x - 4 = 0$ $\Rightarrow x = 4$,
• $2x - 4 = 0$ $\Rightarrow x = 2$.

Таким образом, критические точки: $x = 0$, $x = 2$, $x = 4$.

3. Найдем вторую производную $y''(x)$ для анализа.

Вторая производная вычисляется из $y'(x) = 2x(x - 4)(2x - 4)$. Используем правило произведения и определяем поведение $y''(x)$ в точках $x = 0$, $x = 2$, $x = 4$.

После анализа второй производной или исследования знака $y'(x)$ в интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 4)$, $(4, \infty)$, мы определяем:

• Максимум достигается в точке $x = 2$.

4. Найдем значение функции в точке максимума.

Подставляем $x = 2$ в $y(x)$: $y(2) = 2^2(2 - 4)^2 = 4 \cdot (-2)^2 = 16.$

Ответ:

Точка максимума функции: $x = 2, y = 16$.

Если у вас есть вопросы или хотите узнать подробности, дайте знать!

---

5 вопросов для размышления:

1. Как найти точки минимума функции аналогичным способом?
2. Можно ли упростить процесс нахождения второй производной?
3. Как влияет наличие симметрии на вид функции $y(x)$?
4. Что можно сказать о поведении функции на бесконечности?
5. Какие еще методы существуют для нахождения экстремумов, кроме производных?

---

Совет: Всегда проверяйте поведение функции на границах интервалов, чтобы исключить пропущенные экстремумы!