Высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки 2 см и 4 см. Найдите катеты треугольника

Для решения задачи, воспользуемся теоремой о высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника.

Теорема гласит: высота, опущенная на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, которые подобны исходному треугольнику, а также подобны друг другу. 

Обозначим катеты треугольника \(a\) и \(b\), гипотенузу \(c\), высоту \(h\), и отрезки, на которые делится гипотенуза, \(d_1 = 2 \, \text{см}\) и \(d_2 = 4 \, \text{см}\).

Сначала найдем гипотенузу \(c\):
\[
c = d_1 + d_2 = 2 + 4 = 6 \, \text{см}.
\]

Теперь воспользуемся свойством подобия треугольников:
\[
\frac{a}{c} = \frac{h}{b} \quad \text{и} \quad \frac{b}{c} = \frac{h}{a}.
\]
Это можно переписать как:
\[
a^2 = h \cdot d_2 \quad \text{и} \quad b^2 = h \cdot d_1.
\]
Также, используя формулу для высоты через отрезки:
\[
h = \sqrt{d_1 \cdot d_2} = \sqrt{2 \cdot 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, \text{см}.
\]

Теперь найдем катеты:
\[
a^2 = h \cdot d_2 = 2\sqrt{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2},
\]
\[
a = \sqrt{8\sqrt{2}} = 2\sqrt[4]{2} \approx 3.36 \, \text{см}.
\]

\[
b^2 = h \cdot d_1 = 2\sqrt{2} \cdot 2 = 4\sqrt{2},
\]
\[
b = \sqrt{4\sqrt{2}} = \sqrt{4 \cdot 2^{1/2}} = 2\sqrt[4]{2} \approx 2.83 \, \text{см}.
\]

Таким образом, катеты треугольника примерно равны \( a \approx 3.36 \, \text{см}\) и \( b \approx 2.83 \, \text{см}\).

Хотите ли вы узнать больше подробностей или задать другие вопросы? 

Вот 5 связанных вопросов:
1. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, зная катеты?
2. Как использовать теорему Пифагора для решения подобных задач?
3. Как высота в прямоугольном треугольнике влияет на его свойства?
4. Как решить задачу, если известны только гипотенуза и один из катетов?
5. Какие еще способы нахождения катетов существуют?

**Совет:** Всегда проверяйте промежуточные шаги, чтобы убедиться в правильности решения, особенно когда работаете с корнями.

Discover how to find the legs of a right triangle when given the hypotenuse and segments dividing it. This problem involves applying the height theorem in right triangles and the Pythagorean theorem. Suitable for students in Grades 9-10.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation