Math Problem Statement

Высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки 2 см и 4 см. Найдите катеты треугольника

Solution

Для решения задачи, воспользуемся теоремой о высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника.

Теорема гласит: высота, опущенная на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, которые подобны исходному треугольнику, а также подобны друг другу.

Обозначим катеты треугольника aa и bb, гипотенузу cc, высоту hh, и отрезки, на которые делится гипотенуза, d1=2смd_1 = 2 \, \text{см} и d2=4смd_2 = 4 \, \text{см}.

Сначала найдем гипотенузу cc: c=d1+d2=2+4=6см.c = d_1 + d_2 = 2 + 4 = 6 \, \text{см}.

Теперь воспользуемся свойством подобия треугольников: ac=hbиbc=ha.\frac{a}{c} = \frac{h}{b} \quad \text{и} \quad \frac{b}{c} = \frac{h}{a}. Это можно переписать как: a2=hd2иb2=hd1.a^2 = h \cdot d_2 \quad \text{и} \quad b^2 = h \cdot d_1. Также, используя формулу для высоты через отрезки: h=d1d2=24=8=22см.h = \sqrt{d_1 \cdot d_2} = \sqrt{2 \cdot 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, \text{см}.

Теперь найдем катеты: a2=hd2=224=82,a^2 = h \cdot d_2 = 2\sqrt{2} \cdot 4 = 8\sqrt{2}, a=82=2243.36см.a = \sqrt{8\sqrt{2}} = 2\sqrt[4]{2} \approx 3.36 \, \text{см}.

b2=hd1=222=42,b^2 = h \cdot d_1 = 2\sqrt{2} \cdot 2 = 4\sqrt{2}, b=42=421/2=2242.83см.b = \sqrt{4\sqrt{2}} = \sqrt{4 \cdot 2^{1/2}} = 2\sqrt[4]{2} \approx 2.83 \, \text{см}.

Таким образом, катеты треугольника примерно равны a3.36смa \approx 3.36 \, \text{см} и b2.83смb \approx 2.83 \, \text{см}.

Хотите ли вы узнать больше подробностей или задать другие вопросы?

Вот 5 связанных вопросов:

  1. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, зная катеты?
  2. Как использовать теорему Пифагора для решения подобных задач?
  3. Как высота в прямоугольном треугольнике влияет на его свойства?
  4. Как решить задачу, если известны только гипотенуза и один из катетов?
  5. Какие еще способы нахождения катетов существуют?

Совет: Всегда проверяйте промежуточные шаги, чтобы убедиться в правильности решения, особенно когда работаете с корнями.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Geometry
Similarity of triangles
Pythagorean theorem

Formulas

Pythagorean theorem

Theorems

Height theorem in right triangles

Suitable Grade Level

Grades 9-10