Vi skal finne verdien(e) av $k$ slik at grafen til funksjonen $h(x) = x^3 - 2x + k$ har en tangent med likning $y = x + 5$.

Steg 1: Identifiser kravene for en tangent

En tangent til $h(x)$ oppfyller følgende:

1. Tangentens stigningstall $y' = 1$ (fordi $y = x + 5$).
2. Punktet $(a, h(a))$ ligger på både grafen til $h(x)$ og tangenten. Dette gir at $h(a) = a + 5$.

Steg 2: Finn deriverte av $h(x)$

Deriver $h(x)$ for å finne stigningstallet: $h'(x) = 3x^2 - 2$

For at tangenten skal ha stigningstall $1$: $h'(a) = 3a^2 - 2 = 1$

Steg 3: Løs for $a$

Løs ligningen $3a^2 - 2 = 1$: $3a^2 = 3 \quad \implies \quad a^2 = 1$ $a = \pm 1$

Steg 4: Bruk tangenten for å finne $k$

For hver av $a = 1$ og $a = -1$, skal punktet $(a, h(a))$ ligge på tangenten $y = x + 5$. Dermed må $h(a) = a + 5$, dvs.: $h(a) = a^3 - 2a + k = a + 5$

Tilfelle 1: $a = 1$

Sett $a = 1$ i ligningen: $1^3 - 2(1) + k = 1 + 5$ $1 - 2 + k = 6 \quad \implies \quad k = 7$

Tilfelle 2: $a = -1$

Sett $a = -1$ i ligningen: $(-1)^3 - 2(-1) + k = -1 + 5$ $-1 + 2 + k = 4 \quad \implies \quad k = 3$

Steg 5: Svar

De mulige verdiene av $k$ er: $k = 7 \quad \text{eller} \quad k = 3$

Vil du ha mer detaljer om løsningen eller utforske andre aspekter?

Relaterte spørsmål:

1. Hvordan påvirker $k$ formen på grafen til $h(x)$?
2. Hva skjer hvis tangenten har en annen likning, for eksempel $y = 2x + 5$?
3. Kan det være flere verdier av $a$ for en gitt tangent?
4. Hvordan verifiserer vi at $y = x + 5$ faktisk er en tangent?
5. Hvordan påvirker stigningstallene til tangenter symmetrien til $h(x)$?

Tips: For å kontrollere om en tangent er riktig, sjekk både stigningstallet og at punktet ligger på grafen.