For å finne de mulige verdiene av $k$ slik at funksjonen $h(x) = x^3 - 2x + k$ har en tangent med ligningen $y = x + 5$, kan vi følge disse trinnene:

1. Identifiser stigningstallet til tangenten: Siden tangentens ligning er $y = x + 5$, har den stigningstallet 1. Dette betyr at derivasjonen av $h(x)$, $h'(x)$, må være lik 1 i det punktet der tangenten rører grafen til $h$.

2. Deriver funksjonen $h(x)$: $h'(x) = 3x^2 - 2$

3. Sett stigningstallet lik tangentens stigningstall: $3x^2 - 2 = 1$ Løs for $x$: $3x^2 = 3$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$ Så, vi har to mulige punkter på grafen der $h'(x) = 1$, nemlig $x = 1$ og $x = -1$.

4. Finn funksjonsverdiene $h(1)$ og $h(-1)$:

   • For $x = 1$: $h(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 + k = 1 - 2 + k = -1 + k$
   • For $x = -1$: $h(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1) + k = -1 + 2 + k = 1 + k$

5. Sett funksjonsverdiene lik tangentens y-verdi i de aktuelle punktene:

   • Når $x = 1$, må $h(1) = 1 + 5 = 6$: $-1 + k = 6$ $k = 7$
   • Når $x = -1$, må $h(-1) = -1 + 5 = 4$: $1 + k = 4$ $k = 3$

6. Svar: De mulige verdiene for $k$ er $k = 7$ og $k = 3$.

Ønsker du flere detaljer eller har spørsmål?

Her er fem spørsmål som videreutvikler dette temaet:

1. Hva betyr det for en tangent å ha en bestemt stigningstall ved et punkt på en funksjon?
2. Hvordan kan vi bruke den deriverte til å finne tangenter til grafen av en funksjon?
3. Hvordan påvirker verdien av $k$ formen til grafen til $h(x)$?
4. Hvordan kan vi vite om en funksjon har en tangent som krysser aksene ved en bestemt y-verdi?
5. Hvilke typer funksjoner gir flere mulige verdier av $k$ for en gitt tangent?

Tips: Når du løser problemer med tangenter til grafer, er det ofte nyttig å finne den deriverte først for å forstå stigningen til grafen ved forskjellige punkter.