Funksjonen h er gitt ved $$ h\left(x\right)=x^3-2x+k,\text{ k}\in R $$ 

Grafen til h har en tangent med likning $$ y\,\text{= }x+5 $$

Bestem mulige verdier av k

For å finne de mulige verdiene av $ k $ slik at funksjonen $ h(x) = x^3 - 2x + k $ har en tangent med ligningen $ y = x + 5 $, kan vi følge disse trinnene:

1. **Identifiser stigningstallet til tangenten:** Siden tangentens ligning er $ y = x + 5 $, har den stigningstallet 1. Dette betyr at derivasjonen av $ h(x) $, $ h'(x) $, må være lik 1 i det punktet der tangenten rører grafen til $ h $.

2. **Deriver funksjonen $ h(x) $:**
   \[
   h'(x) = 3x^2 - 2
   \]

3. **Sett stigningstallet lik tangentens stigningstall:**
   \[
   3x^2 - 2 = 1
   \]
   Løs for $ x $:
   \[
   3x^2 = 3
   \]
   \[
   x^2 = 1
   \]
   \[
   x = \pm 1
   \]
   Så, vi har to mulige punkter på grafen der $ h'(x) = 1 $, nemlig $ x = 1 $ og $ x = -1 $.

4. **Finn funksjonsverdiene $ h(1) $ og $ h(-1) $:**
   - For $ x = 1 $:
     \[
     h(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 + k = 1 - 2 + k = -1 + k
     \]
   - For $ x = -1 $:
     \[
     h(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1) + k = -1 + 2 + k = 1 + k
     \]

5. **Sett funksjonsverdiene lik tangentens y-verdi i de aktuelle punktene:**
   - Når $ x = 1 $, må $ h(1) = 1 + 5 = 6 $:
     \[
     -1 + k = 6
     \]
     \[
     k = 7
     \]
   - Når $ x = -1 $, må $ h(-1) = -1 + 5 = 4 $:
     \[
     1 + k = 4
     \]
     \[
     k = 3
     \]

6. **Svar:** De mulige verdiene for $ k $ er $ k = 7 $ og $ k = 3 $.

Ønsker du flere detaljer eller har spørsmål? 

Her er fem spørsmål som videreutvikler dette temaet:

1. Hva betyr det for en tangent å ha en bestemt stigningstall ved et punkt på en funksjon?
2. Hvordan kan vi bruke den deriverte til å finne tangenter til grafen av en funksjon?
3. Hvordan påvirker verdien av $ k $ formen til grafen til $ h(x) $?
4. Hvordan kan vi vite om en funksjon har en tangent som krysser aksene ved en bestemt y-verdi?
5. Hvilke typer funksjoner gir flere mulige verdier av $ k $ for en gitt tangent?

**Tips:** Når du løser problemer med tangenter til grafer, er det ofte nyttig å finne den deriverte først for å forstå stigningen til grafen ved forskjellige punkter.

Funksjonen h er gitt ved h(x) = x^3 - 2x + k, k ∈ R. Grafen til h har en tangent med likning y = x + 5. Bestem mulige verdier av k.

Find the values of k for the function h(x) = x^3 - 2x + k such that the graph of h has a tangent with equation y = x + 5. This solution uses calculus concepts including derivatives and tangent lines to solve for k, making it suitable for Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation