Untuk mencari invers dari \( 7 \) dalam \( \text{mod} \ 24 \), kita perlu menemukan bilangan \( x \) sedemikian rupa sehingga:

\[
7x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 24)
\]

Ini berarti kita mencari \( x \) yang membuat perkalian \( 7 \times x \) memiliki sisa 1 ketika dibagi dengan 24. Untuk mencari \( x \), kita bisa menggunakan Algoritma Euclidean untuk memastikan bahwa 7 dan 24 adalah koprima (gcd-nya adalah 1), dan kemudian menggunakan Extended Euclidean Algorithm untuk menemukan nilai \( x \).

**Langkah 1: Memeriksa apakah 7 dan 24 koprima (gcd-nya 1)**

\[
\text{gcd}(7, 24) = 1
\]

Karena 7 adalah bilangan prima dan tidak membagi 24, maka gcd dari 7 dan 24 adalah 1, yang berarti mereka koprima, dan invers modular ada.

**Langkah 2: Menggunakan Algoritma Euclidean untuk menemukan invers**

Kita akan menyelesaikan persamaan \( 7x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 24) \) menggunakan Algoritma Euclidean yang diperpanjang:

1. Mulai dengan persamaan dasar dari Algoritma Euclidean:
   \[
   24 = 3 \times 7 + 3
   \]
   \[
   7 = 2 \times 3 + 1
   \]
   \[
   3 = 3 \times 1 + 0
   \]

2. Menulis ulang persamaan dalam bentuk kombinasi linear:
   \[
   1 = 7 - 2 \times 3
   \]
   \[
   1 = 7 - 2 \times (24 - 3 \times 7)
   \]
   \[
   1 = 7 - 2 \times 24 + 6 \times 7
   \]
   \[
   1 = 7 \times 7 - 2 \times 24
   \]

Dari sini, kita bisa lihat bahwa:

\[
1 = 7 \times 7 - 2 \times 24
\]

Ini menunjukkan bahwa invers dari 7 dalam \( \text{mod} \ 24 \) adalah \( 7 \), karena:

\[
7 \times 7 \equiv 1 \ (\text{mod} \ 24)
\]

Jadi, invers dari \( 7 \) modulo \( 24 \) adalah \( 7 \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menggunakan Algoritma Euclidean untuk bilangan lain?
2. Apa itu invers modular dan bagaimana aplikasinya dalam kriptografi?
3. Bagaimana cara memverifikasi hasil dari invers modular?
4. Bagaimana jika dua bilangan tidak koprima, apakah invers modularnya masih ada?
5. Dapatkah Anda menjelaskan lebih detail tentang Algoritma Euclidean yang diperpanjang?

**Tip:** Invers modular hanya ada jika dua bilangan tersebut koprima, artinya gcd dari kedua bilangan tersebut adalah 1.

Learn how to find the inverse of 7 modulo 24 using the Extended Euclidean Algorithm. This problem involves modular arithmetic and number theory concepts, ensuring clarity in understanding the steps involved in solving for the modular inverse. Suitable for advanced high school students and beyond.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation