jika(fog)(x) = 4x^2 + 8x - 3 dan g(x) = 2x + 4, maka f^-1(x) adalah

Diberikan bahwa \( (f \circ g)(x) = 4x^2 + 8x - 3 \) dan \( g(x) = 2x + 4 \). Kita diminta untuk menemukan invers dari \( f(x) \), yaitu \( f^{-1}(x) \).

### Langkah 1: Cari \( f(x) \)
Karena kita tahu bahwa \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \), kita bisa memulai dengan menyatakan \( f(x) \) dalam bentuk \( (f \circ g)(x) \).

Substitusikan \( g(x) = 2x + 4 \) ke dalam persamaan \( (f \circ g)(x) \):
\[
f(2x + 4) = 4x^2 + 8x - 3
\]
Sekarang, untuk mendapatkan \( f(u) \) (dimana \( u = 2x + 4 \)), kita harus mengekspresikan \( x \) dalam bentuk \( u \):
\[
u = 2x + 4 \implies x = \frac{u - 4}{2}
\]
Substitusikan \( x = \frac{u - 4}{2} \) ke dalam \( 4x^2 + 8x - 3 \):
\[
f(u) = 4\left(\frac{u - 4}{2}\right)^2 + 8\left(\frac{u - 4}{2}\right) - 3
\]

### Langkah 2: Sederhanakan \( f(u) \)
Sekarang kita hitung ekspresi di atas:
\[
f(u) = 4\left(\frac{u - 4}{2}\right)^2 = 4\left(\frac{u^2 - 8u + 16}{4}\right) = u^2 - 8u + 16
\]
\[
+ 8\left(\frac{u - 4}{2}\right) = 4u - 16 - 3 = u^2 - 4u - 3
\]

Jadi, \( f(u) = u^2 - 4u - 3 \).

### Langkah 3: Cari \( f^{-1}(x) \)
Untuk menemukan \( f^{-1}(x) \), kita set \( y = f(x) = x^2 - 4x - 3 \), lalu kita selesaikan persamaan untuk \( x \):
\[
y = x^2 - 4x - 3
\]
\[
x^2 - 4x - (y + 3) = 0
\]
Gunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan:
\[
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-(y + 3))}}{2(1)}
\]
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4y + 12}}{2}
\]
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{4y + 28}}{2}
\]
\[
x = \frac{4 \pm 2\sqrt{y + 7}}{2}
\]
\[
x = 2 \pm \sqrt{y + 7}
\]

Jadi, \( f^{-1}(x) \) bisa berupa:
\[
f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x + 7} \quad \text{atau} \quad f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x + 7}
\]

Namun, untuk fungsi invers, biasanya kita mengambil cabang yang memenuhi syarat fungsi asli. Ini biasanya didasarkan pada konteks, seperti batasan nilai \( x \).

Apakah ada bagian yang ingin Anda tanyakan lebih lanjut atau ada yang kurang jelas?

**Pertanyaan Terkait:**
1. Bagaimana cara menentukan cabang fungsi invers yang tepat?
2. Bagaimana jika fungsi \( g(x) \) berbeda, apakah langkah-langkah untuk mencari invers tetap sama?
3. Apa perbedaan antara invers fungsi dengan akar kuadrat?
4. Bagaimana cara memeriksa apakah \( f(x) \) dan \( f^{-1}(x) \) saling invers?
5. Mengapa kita menggunakan rumus kuadrat dalam mencari invers fungsi?

**Tip:** Ketika menemukan invers fungsi kuadrat, pastikan untuk mempertimbangkan domain dan range asli dari fungsi untuk menentukan cabang yang benar.

Learn how to find the inverse function f^-1(x) for the given composite function f(g(x)) = 4x^2 + 8x - 3, where g(x) = 2x + 4. This involves steps including function composition, solving quadratic equations, and applying the quadratic formula. Suitable for undergraduate level mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation