Determina el valor extremo de la función: 

fx = 3x²+6x+8 En el intervalo [0,2]

Para determinar el valor extremo de la función \( f(x) = 3x^2 + 6x + 8 \) en el intervalo \([0, 2]\), debemos seguir estos pasos:

### 1. Encontrar los puntos críticos:
Los puntos críticos se encuentran al calcular la derivada de la función y luego igualarla a cero.

\[
f(x) = 3x^2 + 6x + 8
\]

Primero, calculamos la derivada de \( f(x) \):

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6x + 8) = 6x + 6
\]

Ahora, igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

\[
6x + 6 = 0
\]

\[
x = -1
\]

Sin embargo, \( x = -1 \) no está dentro del intervalo \([0, 2]\), por lo que no es relevante para encontrar el extremo en este intervalo.

### 2. Evaluar la función en los extremos del intervalo:
Dado que no hay puntos críticos dentro del intervalo \([0, 2]\), los posibles extremos estarán en los puntos finales del intervalo. Por lo tanto, evaluamos la función en \( x = 0 \) y \( x = 2 \).

\[
f(0) = 3(0)^2 + 6(0) + 8 = 8
\]

\[
f(2) = 3(2)^2 + 6(2) + 8 = 3(4) + 12 + 8 = 12 + 12 + 8 = 32
\]

### 3. Determinar los valores extremos:
Comparando los valores de \( f(x) \) en los extremos del intervalo:

- \( f(0) = 8 \)
- \( f(2) = 32 \)

El valor mínimo de la función en el intervalo \([0, 2]\) es \( 8 \) y ocurre en \( x = 0 \).

El valor máximo de la función en el intervalo \([0, 2]\) es \( 32 \) y ocurre en \( x = 2 \).

### Respuesta:
- **Valor mínimo**: 8 en \( x = 0 \)
- **Valor máximo**: 32 en \( x = 2 \)

¿Te gustaría obtener más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina un punto crítico fuera de un intervalo dado?
2. ¿Qué significa que un punto sea un extremo local?
3. ¿Cuál es la diferencia entre un mínimo y un máximo absolutos?
4. ¿Cómo afecta la concavidad de una función a sus extremos?
5. ¿Cómo puedes verificar si un punto crítico es un mínimo o máximo?
6. ¿Qué papel juegan las derivadas en la optimización de funciones?
7. ¿Cómo se utilizan los extremos de una función en problemas de la vida real?
8. ¿Qué sucede si la derivada de una función no tiene solución dentro de un intervalo dado?

### Tip:
Recuerda que los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado pueden ocurrir en los puntos críticos dentro del intervalo o en los extremos del intervalo.

Learn how to determine the extremum of the quadratic function f(x) = 3x^2 + 6x + 8 within the interval [0, 2]. Explore the step-by-step solution involving finding critical points and evaluating the function at interval endpoints. Suitable for Grades 11-12.

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