ניח שמשולש $ABC$ הוא משולש ישר זווית שבו הצלע $AB$ מונחת על הישר $\ y = 2x$. נתון גם כי הקדקוד $C$ נמצא בנקודה $(2, 6)$, הקדקוד $A$ נמצא על ציר ה-$y$ והקדקוד $B$ נמצא על ציר ה-$x$.

שלב א': מציאת משוואת הישר $BC$:

קדקוד $A$ נמצא על ציר ה-$y$, כלומר הנקודה $(0, a)$. קדקוד $B$ נמצא על ציר ה-$x$, כלומר הנקודה $(b, 0)$.

נחפש את משוואת הישר $BC$. ידוע כי שתי הנקודות הנמצאות על הישר $BC$ הן $B$ $(b, 0)$ ו-$C$ $(2, 6)$.

נחשב את השיפוע של הישר $BC$:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 0}{2 - b} = \frac{6}{2 - b}$

המשוואה של הישר $BC$ היא מהצורה:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

נבחר את הנקודה $C(2, 6)$:

$y - 6 = \frac{6}{2 - b}(x - 2)$

נפשט ונקבל את משוואת הישר:

$y - 6 = \frac{6(x - 2)}{2 - b}$

$y = \frac{6x - 12}{2 - b} + 6$

זו היא משוואת הישר $BC$ באופן כללי.

שלב ב': מציאת נקודת החיתוך של הישר $BC$ עם ציר ה-$y$ (נקודה $D$):

נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ מתקבלת כאשר $x = 0$:

$y = \frac{6 \cdot 0 - 12}{2 - b} + 6 = \frac{-12}{2 - b} + 6$

נקרא לנקודה זו $D(0, y_D)$, ונתון כי $y_D = \frac{-12}{2 - b} + 6$.

שלב ג': חישוב שטח המשולש $ABD$:

השטח של המשולש ניתן על ידי הנוסחה:

$\text{שטח} = \frac{1}{2} \times בסיס \times גובה$

במקרה זה, הבסיס הוא $b$ (המרחק בין $A$ ל-$B$ על ציר ה-$x$), והגובה הוא $a - y_D$ (המרחק האנכי בין $D$ ל-$A$ על ציר ה-$y$).

לאחר מכן, השטח הוא:

$\text{שטח ABD} = \frac{1}{2} \times b \times (a - y_D)$

ניתן להציב את הערכים של $a$, $b$, ו-$y_D$ שנמצאו קודם לכן כדי לקבל את השטח הסופי.

---

יש לך שאלות נוספות או צריך עזרה עם חלק מסוים של הפתרון?
הנה 5 שאלות להמשך:

1. איך ניתן למצוא את ערכי $a$ ו-$b$ מתוך המשוואות שנמצאו?
2. מה הקשר בין הנקודות $A$, $B$, ו-$C$ במשולש ישר זווית?
3. איך ניתן לחשב את השטח באופן ישיר בעזרת הנוסחה של קואורדינטות?
4. האם ניתן למצוא את נקודת החיתוך של הישר $BC$ עם ציר ה-$x$?
5. מה היתרון במציאת השיפוע של ישרי המשולש לפני חישוב השטח?

טיפ: כדי לבדוק אם הפתרון שלך נכון, נסה להציב את הנקודות במשוואות ולוודא שהן מתקבלות.