Per risolvere il problema, seguiamo i passaggi uno per uno.

1. Equazione della retta contenente il lato $AB$

I punti $A(1, 3)$ e $B(-1, 4)$ sono i due vertici del lato $AB$. Per trovare l'equazione della retta che passa per questi due punti, possiamo calcolare la pendenza (coefficiente angolare) $m$ e poi usare la formula della retta:

$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 3}{-1 - 1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

L'equazione della retta in forma esplicita è:

$y - y_A = m(x - x_A)$

Sostituendo $A(1, 3)$ e $m = -\frac{1}{2}$:

$y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 1)$

Moltiplicando tutto per 2 per eliminare la frazione:

$2y - 6 = -x + 1$

Riordinando:

$x + 2y = 7$

Questa è l'equazione della retta contenente il lato $AB$.

2. Altezza relativa al lato $AB$

L'altezza relativa al lato $AB$ è la distanza del punto $C(1, -2)$ dalla retta $AB$. La distanza di un punto $(x_0, y_0)$ dalla retta $ax + by + c = 0$ è data dalla formula:

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Per la retta $AB$, l'equazione è $x + 2y - 7 = 0$. Qui $a = 1$, $b = 2$, e $c = -7$. Per il punto $C(1, -2)$:

$d = \frac{|1(1) + 2(-2) - 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|1 - 4 - 7|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-10|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$

Quindi, l'altezza relativa al lato $AB$ è $2\sqrt{5}$.

3. Area del triangolo

L'area del triangolo può essere calcolata usando le coordinate dei vertici con la formula:

$\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right|$

Sostituendo i valori dei punti $A(1, 3)$, $B(-1, 4)$, e $C(1, -2)$:

$\text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(4 - (-2)) + (-1)(-2 - 3) + 1(3 - 4) \right|$

$= \frac{1}{2} \left| 1(6) + (-1)(-5) + 1(-1) \right| = \frac{1}{2} \left| 6 + 5 - 1 \right| = \frac{1}{2} \times 10 = 5$

Quindi, l'area del triangolo è $5$ unità quadrate.

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Hai domande o desideri ulteriori dettagli su uno di questi passaggi?

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Suggerimento: Quando si lavora con problemi di geometria analitica, è utile disegnare uno schizzo della situazione per visualizzare meglio il problema.