Considera il triangolo di vertici A(1;3), B(-1;4), C(1;-2). Determina: l'equazione della retta contenente il lato AB; la misura dell'altezza relativa al lato AB; l'area del triangolo.

Per risolvere il problema, seguiamo i passaggi uno per uno.

### 1. Equazione della retta contenente il lato \( AB \)
I punti \( A(1, 3) \) e \( B(-1, 4) \) sono i due vertici del lato \( AB \). Per trovare l'equazione della retta che passa per questi due punti, possiamo calcolare la pendenza (coefficiente angolare) \( m \) e poi usare la formula della retta:

\[
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 3}{-1 - 1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}
\]

L'equazione della retta in forma esplicita è:

\[
y - y_A = m(x - x_A)
\]

Sostituendo \( A(1, 3) \) e \( m = -\frac{1}{2} \):

\[
y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 1)
\]

Moltiplicando tutto per 2 per eliminare la frazione:

\[
2y - 6 = -x + 1
\]

Riordinando:

\[
x + 2y = 7
\]

Questa è l'equazione della retta contenente il lato \( AB \).

### 2. Altezza relativa al lato \( AB \)
L'altezza relativa al lato \( AB \) è la distanza del punto \( C(1, -2) \) dalla retta \( AB \). La distanza di un punto \( (x_0, y_0) \) dalla retta \( ax + by + c = 0 \) è data dalla formula:

\[
d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]

Per la retta \( AB \), l'equazione è \( x + 2y - 7 = 0 \). Qui \( a = 1 \), \( b = 2 \), e \( c = -7 \). Per il punto \( C(1, -2) \):

\[
d = \frac{|1(1) + 2(-2) - 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|1 - 4 - 7|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-10|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}
\]

Quindi, l'altezza relativa al lato \( AB \) è \( 2\sqrt{5} \).

### 3. Area del triangolo
L'area del triangolo può essere calcolata usando le coordinate dei vertici con la formula:

\[
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right|
\]

Sostituendo i valori dei punti \( A(1, 3) \), \( B(-1, 4) \), e \( C(1, -2) \):

\[
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(4 - (-2)) + (-1)(-2 - 3) + 1(3 - 4) \right|
\]

\[
= \frac{1}{2} \left| 1(6) + (-1)(-5) + 1(-1) \right| = \frac{1}{2} \left| 6 + 5 - 1 \right| = \frac{1}{2} \times 10 = 5
\]

Quindi, l'area del triangolo è \( 5 \) unità quadrate.

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Hai domande o desideri ulteriori dettagli su uno di questi passaggi?

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5. Quali sono i metodi alternativi per calcolare l'altezza di un triangolo dato in coordinate?

**Suggerimento**: Quando si lavora con problemi di geometria analitica, è utile disegnare uno schizzo della situazione per visualizzare meglio il problema.

Learn how to determine the equation of line AB passing through points A(1, 3) and B(-1, 4), calculate the height relative to AB from point C(1, -2), and find the area of triangle ABC using analytic geometry methods. Suitable for high school students.

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