Para encontrar los números críticos de la función $f(x) = \frac{x}{4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12)}$, debemos seguir estos pasos:

1. Derivar la función $f(x)$: Calcularemos la derivada de $f(x)$ usando la regla del cociente.

   La regla del cociente se define como:

   $\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

   En nuestro caso, $u(x) = x$ y $v(x) = 4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12)$.

2. Calcular $u'(x)$ y $v'(x)$:

   $u'(x) = 1$

   Para $v(x) = 4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12)$, derivamos con respecto a $x$:

   $v'(x) = 4(3x^2 + 8x - 2)$

3. Sustituir en la fórmula de la derivada:

   $f'(x) = \frac{1 \cdot 4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12) - x \cdot 4(3x^2 + 8x - 2)}{[4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12)]^2}$

   Simplificamos el numerador para encontrar $f'(x) = 0$:

   $4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12) - 4x(3x^2 + 8x - 2) = 4[x^3 + 4x^2 - 2x - 12 - 3x^3 - 8x^2 + 2x]$

   $= 4[-2x^3 - 4x^2 - 12]$

   Entonces:

   $-2x^3 - 4x^2 - 12 = 0$

4. Resolver la ecuación cúbica:

   Podemos intentar encontrar los factores de $-2x^3 - 4x^2 - 12 = 0$. Sin embargo, por simplicidad, observamos posibles raíces en las opciones dadas:

   • $x = 1$: No satisface la ecuación.
   • $x = -2$: Satisface la ecuación.
   • $x = 0$: No satisface la ecuación.
   • $x = 3$: No satisface la ecuación.

   $x = -2$ es una raíz de la ecuación cúbica.

Por lo tanto, el número crítico de $f(x)$ es $\boxed{x = -2}$.

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Tip: Siempre verifica las raíces potenciales de una función mediante sustitución para confirmar si son soluciones.