Sea f
Una función definida en su dominio máximo y con criterio f(x)=(x)/(4)(x3+4x2-2x-12), Un número crítico de f
corresponde a:

Pregunta 5Seleccione una:

x=1

x=−2

x=0

x=3

Para encontrar los números críticos de la función \( f(x) = \frac{x}{4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12)} \), debemos seguir estos pasos:

1. **Derivar la función \( f(x) \)**: Calcularemos la derivada de \( f(x) \) usando la regla del cociente.

   La regla del cociente se define como:

   \[
   \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
   \]

   En nuestro caso, \( u(x) = x \) y \( v(x) = 4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12) \).

2. **Calcular \( u'(x) \) y \( v'(x) \)**:

   \[
   u'(x) = 1
   \]
   
   Para \( v(x) = 4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12) \), derivamos con respecto a \( x \):
   
   \[
   v'(x) = 4(3x^2 + 8x - 2)
   \]

3. **Sustituir en la fórmula de la derivada**:

   \[
   f'(x) = \frac{1 \cdot 4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12) - x \cdot 4(3x^2 + 8x - 2)}{[4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12)]^2}
   \]

   Simplificamos el numerador para encontrar \( f'(x) = 0 \):

   \[
   4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12) - 4x(3x^2 + 8x - 2) = 4[x^3 + 4x^2 - 2x - 12 - 3x^3 - 8x^2 + 2x]
   \]

   \[
   = 4[-2x^3 - 4x^2 - 12]
   \]

   Entonces:

   \[
   -2x^3 - 4x^2 - 12 = 0
   \]

4. **Resolver la ecuación cúbica**:

   Podemos intentar encontrar los factores de \( -2x^3 - 4x^2 - 12 = 0 \). Sin embargo, por simplicidad, observamos posibles raíces en las opciones dadas:

   - \( x = 1 \): No satisface la ecuación.
   - \( x = -2 \): Satisface la ecuación.
   - \( x = 0 \): No satisface la ecuación.
   - \( x = 3 \): No satisface la ecuación.

   \( x = -2 \) es una raíz de la ecuación cúbica.

Por lo tanto, el número crítico de \( f(x) \) es \( \boxed{x = -2} \).

---

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se encuentra el dominio de una función?
2. ¿Qué es un número crítico en el cálculo?
3. ¿Cómo se aplican las reglas de derivación a funciones más complejas?
4. ¿Qué son las raíces de una función?
5. ¿Cuál es la importancia de los puntos críticos en el análisis de funciones?
6. ¿Cómo se factoriza una ecuación cúbica?
7. ¿Cuál es el criterio para que una derivada exista en un punto dado?
8. ¿Qué es la regla del cociente y cómo se aplica?

**Tip:** Siempre verifica las raíces potenciales de una función mediante sustitución para confirmar si son soluciones.

Learn how to find the critical points of the function f(x) = x / [4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12)] step-by-step. This problem involves deriving a quotient function, solving a cubic equation, and identifying critical points. Suitable for advanced high school students.

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