Sea f Una función definida en su dominio máximo y con criterio: f(x)=(x)/(4)(x3+4x2-2x-12), Un número crítico de f corresponde a: Seleccione una: x=1 x=−2 x=0 x=3

Para determinar el número crítico de la función \( f(x) = \frac{x}{4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12)} \), es necesario seguir estos pasos:

### Paso 1: Derivar la función \( f(x) \)
Para encontrar los números críticos, derivamos \( f(x) \) con respecto a \( x \) usando la **regla del cociente**.

Dado:
- \( u(x) = x \)
- \( v(x) = 4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12) \)

La derivada se calcula como:
\[
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]

Donde:
- \( u'(x) = 1 \)
- Derivamos \( v(x) \):
\[
v'(x) = 4 \times (3x^2 + 8x - 2)
\]

### Paso 2: Sustituir en la fórmula de la derivada
\[
f'(x) = \frac{1 \cdot 4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12) - x \cdot 4(3x^2 + 8x - 2)}{[4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12)]^2}
\]

Simplificando el numerador:
\[
f'(x) = \frac{4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12) - 4x(3x^2 + 8x - 2)}{[4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12)]^2}
\]

El numerador se reduce a:
\[
4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12) - 4x(3x^2 + 8x - 2) = 4[-2x^3 - 4x^2 - 12]
\]

### Paso 3: Encontrar los puntos críticos
Para encontrar los puntos críticos, resolvemos la ecuación \( f'(x) = 0 \):
\[
-2x^3 - 4x^2 - 12 = 0
\]

Buscamos valores de \( x \) que satisfagan esta ecuación, y verificamos con las opciones dadas.

- \( x = 1 \): No satisface la ecuación.
- \( x = -2 \): Satisface la ecuación.
- \( x = 0 \): No satisface la ecuación.
- \( x = 3 \): No satisface la ecuación.

### Respuesta
El número crítico de \( f(x) \) corresponde a \( \boxed{x = -2} \).

---

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta adicional?

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo afecta el dominio de la función a los números críticos?
2. ¿Qué métodos alternativos existen para encontrar números críticos?
3. ¿Cómo se interpretan los puntos críticos en el contexto de optimización?
4. ¿Cuál es la importancia de la derivada en el análisis de funciones?
5. ¿Qué implica que una función no tenga puntos críticos?
6. ¿Qué son los puntos de inflexión y cómo se relacionan con los números críticos?
7. ¿Cómo identificar y clasificar los puntos críticos en un gráfico?
8. ¿Qué sucede si la derivada no existe en ciertos puntos?

**Tip:** Al resolver ecuaciones cúbicas, puedes probar valores simples primero para identificar posibles raíces rápidamente.

Learn how to find the critical number of the function f(x) = x / [4(x^3 + 4x^2 - 2x - 12)] using derivative techniques. Detailed step-by-step solution provided. Suitable for college-level students studying calculus.

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