Para resolver este problema y comprobar si $(x+2)$ es un factor del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 + x + 2$, seguiremos los siguientes pasos, resumidos y en español:

Paso 1: Verificar si $x = -2$ es una raíz

Según el teorema del factor, $x + 2$ es un factor de $P(x)$ si y solo si $P(-2) = 0$. Evaluemos el polinomio $P(x)$ en $x = -2$.

$P(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + (-2) + 2$ $P(-2) = -8 + 2(4) - 2 + 2$ $P(-2) = -8 + 8 - 2 + 2 = 0$

Como $P(-2) = 0$, esto confirma que $(x + 2)$ es un factor de $P(x)$.

Paso 2: Aplicar la regla de Ruffini

Ahora usaremos la división sintética (regla de Ruffini) para dividir $P(x)$ entre $x + 2$, lo cual nos dará el otro factor.

Colocamos los coeficientes del polinomio $P(x)$:

• Coeficientes: $1, 2, 1, 2$ (de $x^3, x^2, x^1, x^0$)
• Dividimos por $x + 2$, lo que equivale a usar $-2$ en la división.

Proceso de la regla de Ruffini:

El residuo es 0, lo que confirma que la división es exacta, y el cociente es $x^2 + 1$.

Paso 3: Factorización

Como la división ha sido exacta, podemos concluir que: $P(x) = (x + 2)(x^2 + 1)$

Resumen:

• Verificamos que $P(-2) = 0$, lo que confirma que $(x + 2)$ es un factor.
• Al aplicar la regla de Ruffini, encontramos que el otro factor es $x^2 + 1$.
• Por lo tanto, la factorización de $P(x)$ es: $P(x) = (x + 2)(x^2 + 1)$.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la regla de Ruffini en otros casos?
2. ¿Qué ocurre si $P(-2)$ no es igual a cero?
3. ¿Cómo se relaciona el teorema del factor con el resto de las raíces del polinomio?
4. ¿Qué otros métodos se pueden usar para factorizar polinomios?
5. ¿Cuál es la diferencia entre la factorización por Ruffini y la factorización por agrupación?

Tip:

Para dividir polinomios de grado mayor por binomios como $x + c$, la regla de Ruffini es una técnica rápida si conoces una raíz.