La imagen que compartiste presenta un problema en el que se pide comprobar si $(x + 2)$ es un factor del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 + x + 2$, y luego usar la regla de Ruffini para encontrar el otro factor.

Desglose del procedimiento:

1. Comprobación de factor: Para comprobar si $(x + 2)$ es un factor de $P(x)$, sustituimos $x = -2$ en el polinomio $P(x)$. Si el resultado es cero, entonces $(x + 2)$ es un factor.

   $P(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + (-2) + 2$

   Resolviendo: $(-2)^3 = -8, \quad 2(-2)^2 = 2(4) = 8, \quad (-2) = -2, \quad 2 = 2$ $P(-2) = -8 + 8 - 2 + 2 = 0$ Como $P(-2) = 0$, podemos concluir que $(x + 2)$ es un factor de $P(x)$.

2. División sintética (Regla de Ruffini): Para encontrar el otro factor, utilizamos la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x)$ entre $(x + 2)$.

   El polinomio tiene coeficientes $1, 2, 1, 2$, que corresponden a $x^3 + 2x^2 + x + 2$. Usamos $-2$ para realizar la división:

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Conclusión:

• $(x + 2)$ es un factor de $P(x)$.
• El otro factor es $x^2 + 1$, por lo tanto, la factorización completa de $P(x)$ es $(x + 2)(x^2 + 1)$.

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para practicar más:

1. ¿Cómo se utiliza la regla de Ruffini para divisiones polinómicas más complejas?
2. ¿Cómo se puede verificar si un polinomio es divisible por otro sin usar Ruffini?
3. ¿Cuál es el proceso para factorizar un polinomio cúbico sin saber sus factores?
4. ¿Qué otras técnicas existen para factorizar polinomios?
5. ¿Cómo afecta el residuo en la división de polinomios cuando no es cero?

Tip: Al realizar la división de polinomios, siempre revisa el residuo para verificar si la división fue exacta. Un residuo distinto de cero indica que el divisor no es un factor.