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Para expresar el número complejo $5 + 5i$ en su forma trigonométrica (o forma polar), seguimos estos pasos:

1. Magnitud (o módulo): La magnitud de un número complejo $z = a + bi$ se calcula como: $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ Para $z = 5 + 5i$: $r = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

2. Ángulo (o argumento): El argumento $\theta$ es el ángulo que forma el número complejo con el eje real positivo. Se calcula usando la tangente inversa: $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ Para $z = 5 + 5i$: $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{5}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \text{ radianes} \quad \text{(o 45 grados)}$

3. Forma trigonométrica: Finalmente, la forma trigonométrica de un número complejo se escribe como: $z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ Sustituyendo los valores de $r$ y $\theta$: $z = 5\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

Por lo tanto, la forma trigonométrica de $5 + 5i$ es: $z = 5\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

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Tip: Para multiplicar números complejos en forma trigonométrica, multiplicas los módulos y sumas los ángulos.