Задача касается закона роста популяции бактерий, который описан дифференциальным уравнением. У нас есть информация, что скорость роста популяции $\frac{dn}{dt}$ пропорциональна самой популяции $n(t)$, то есть:

$\frac{dn}{dt} = k \cdot n(t)$

где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Также нам дана начальная популяция $n(0) = 1000$. Поскольку задача не указала точное значение $k$, будем считать, что оно равно 1 (из того, как сформулирована задача), а следовательно:

$\frac{dn}{dt} = n(t)$

Это уравнение имеет решение:

$n(t) = n(0) \cdot e^{kt}$

При $n(0) = 1000$ и $k = 1$ решение уравнения будет:

$n(t) = 1000 \cdot e^t$

Теперь, для нахождения популяции после 4 и 12 часов роста, подставим соответствующие значения $t$:

1. После 4 часов:

$n(4) = 1000 \cdot e^4 \approx 1000 \cdot 54.598 = 54598$

2. После 12 часов:

$n(12) = 1000 \cdot e^{12} \approx 1000 \cdot 162754.791 = 162754791$

Таким образом, популяция бактерий после 4 часов будет примерно 54,598, а после 12 часов — 162,754,791.

Если вам нужно больше информации или дополнительные пояснения, дайте знать!

Вот 5 вопросов для дальнейшего изучения:

1. Что влияет на коэффициент пропорциональности $k$ в модели роста популяции?
2. Как изменяется скорость роста популяции, если коэффициент $k$ увеличивается или уменьшается?
3. Какие модели роста используются в биологии помимо экспоненциального роста?
4. Как можно учитывать в модели факторы, такие как конкуренция или ограниченные ресурсы?
5. В чем отличие между экспоненциальным и логистическим ростом?

Совет: при решении задач на дифференциальные уравнения важно точно понимать начальные условия и физический смысл каждого параметра.