Давайте решим задачу о популяции бактерий.

1. Исходные данные:

   • Дифференциальное уравнение скорости роста: $\frac{dn}{dt} = n.$
   • Начальное условие: $n(0) = 1000$.

2. Решение уравнения: Уравнение $\frac{dn}{dt} = n$ представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и интегрируем: $\frac{dn}{n} = dt.$ Интегрируя обе стороны: \ln|n| = t + C, \quad \text{где C — константа интегрирования.} Избавляемся от логарифма: $n = e^{t + C} = e^C \cdot e^t.$ Пусть $e^C = k$, тогда: $n = k \cdot e^t.$ Используем начальное условие $n(0) = 1000$: $1000 = k \cdot e^0, \quad \Rightarrow \quad k = 1000.$ Таким образом, решение: $n(t) = 1000 \cdot e^t.$

3. Вычисление популяции:

   • После 4 часов ($t = 4$): $n(4) = 1000 \cdot e^4.$

   • После 12 часов ($t = 12$): $n(12) = 1000 \cdot e^{12}.$

Выполним точные вычисления. math

Constants

initial_population = 1000

Time points

t1 = 4 # hours t2 = 12 # hours

Population calculations

n_t1 = initial_population * math.exp(t1) n_t2 = initial_population * math.exp(t2)

n_t1, n_t2В результате вычислений получаем:

1. Популяция через 4 часа ($t = 4$): $n(4) \approx 54598.$

2. Популяция через 12 часов ($t = 12$): $n(12) \approx 162754791.$

Бактерии увеличиваются в геометрической прогрессии благодаря экспоненциальному росту.

---

Вопросы для размышления:

1. Как изменится результат, если скорость роста бактерий станет пропорциональной $\frac{dn}{dt} = 2n$?
2. Что происходит с популяцией через 24 часа?
3. Как добавить естественные ограничения, например, вместимость среды?
4. Чем характеризуется экспоненциальный рост в биологических моделях?
5. Как связать коэффициенты роста с реальными наблюдениями?

Совет: Если вы имеете дело с реальными данными, учитывайте ограниченность ресурсов, влияющую на динамику популяции.