Рассмотрим каждое утверждение по отдельности для функции $y(x) = a^x$, где $x \in \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$, $a > 0$.

1. Областью определения данной функции является множество натуральных чисел.

   Это утверждение неверно. Показательная функция $y(x) = a^x$ определена для всех действительных чисел $x$, а не только для натуральных чисел. Таким образом, областью определения функции является множество действительных чисел $\mathbb{R}$.

2. $y(x_1 \cdot x_2) = (y(x_1))^{x_2}$.

   Это утверждение верно. Подставим функцию $y(x) = a^x$ и проверим: $y(x_1 \cdot x_2) = a^{x_1 \cdot x_2}.$ С другой стороны, $(y(x_1))^{x_2} = (a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 \cdot x_2}.$ Следовательно, $y(x_1 \cdot x_2) = (y(x_1))^{x_2}$, и это утверждение является верным.

3. Функция возрастает при $a > 1$.

   Это утверждение верно. Если $a > 1$, то показательная функция $y(x) = a^x$ действительно является возрастающей, так как её производная $y'(x) = a^x \ln a$ положительна для всех $x \in \mathbb{R}$, если $\ln a > 0$, что выполняется при $a > 1$.

4. $y(x_1 + x_2) = y(x_1) + y(x_2)$.

   Это утверждение неверно. Проверим: $y(x_1 + x_2) = a^{x_1 + x_2} = a^{x_1} \cdot a^{x_2} = y(x_1) \cdot y(x_2),$ но это не равно $y(x_1) + y(x_2)$. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ

Правильные утверждения:

• Второе: $y(x_1 \cdot x_2) = (y(x_1))^{x_2}$.
• Третье: функция возрастает при $a > 1$.

---

Есть ли у вас вопросы по разбору? Хотите узнать подробнее?

Вопросы для закрепления:

1. Как выглядит график показательной функции при разных значениях параметра $a$?
2. Чем отличается область определения показательной и логарифмической функций?
3. Почему показательная функция возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1$?
4. Какие ещё свойства есть у показательной функции?
5. Какое значение параметра $a$ приводит к постоянной функции?

Совет:

Для работы с показательной функцией полезно помнить правила степеней, так как они помогают упростить выражения и доказать тождества.