Выберите правильные утверждения: Рассматривается показательная функция  
y
(
x
)
=
a
x
,
x
∈
R
,
a
∈
R
,
a
>
0
,
  тогда справедливы следующие утверждения
областью определения данной функции является множество натуральных чисел
y
(
x
1
⋅
x
2
)
=
(
y
(
x
1
)
)
x
2
 
функция возрастает при  
a
>
1
 
y
(
x
1
+
x
2
)
=
y
(
x
1
)
+
y
(
x
2
)

Рассмотрим каждое утверждение по отдельности для функции \( y(x) = a^x \), где \( x \in \mathbb{R} \), \( a \in \mathbb{R} \), \( a > 0 \).

1. **Областью определения данной функции является множество натуральных чисел.**

   Это утверждение неверно. Показательная функция \( y(x) = a^x \) определена для всех действительных чисел \( x \), а не только для натуральных чисел. Таким образом, областью определения функции является множество действительных чисел \( \mathbb{R} \).

2. **\( y(x_1 \cdot x_2) = (y(x_1))^{x_2} \).**

   Это утверждение верно. Подставим функцию \( y(x) = a^x \) и проверим:
   \[
   y(x_1 \cdot x_2) = a^{x_1 \cdot x_2}.
   \]
   С другой стороны,
   \[
   (y(x_1))^{x_2} = (a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 \cdot x_2}.
   \]
   Следовательно, \( y(x_1 \cdot x_2) = (y(x_1))^{x_2} \), и это утверждение является верным.

3. **Функция возрастает при \( a > 1 \).**

   Это утверждение верно. Если \( a > 1 \), то показательная функция \( y(x) = a^x \) действительно является возрастающей, так как её производная \( y'(x) = a^x \ln a \) положительна для всех \( x \in \mathbb{R} \), если \( \ln a > 0 \), что выполняется при \( a > 1 \).

4. **\( y(x_1 + x_2) = y(x_1) + y(x_2) \).**

   Это утверждение неверно. Проверим:
   \[
   y(x_1 + x_2) = a^{x_1 + x_2} = a^{x_1} \cdot a^{x_2} = y(x_1) \cdot y(x_2),
   \]
   но это не равно \( y(x_1) + y(x_2) \). Следовательно, данное утверждение неверно.

### Ответ
Правильные утверждения:
- Второе: \( y(x_1 \cdot x_2) = (y(x_1))^{x_2} \).
- Третье: функция возрастает при \( a > 1 \).

---

Есть ли у вас вопросы по разбору? Хотите узнать подробнее?

### Вопросы для закрепления:
1. Как выглядит график показательной функции при разных значениях параметра \( a \)?
2. Чем отличается область определения показательной и логарифмической функций?
3. Почему показательная функция возрастает при \( a > 1 \) и убывает при \( 0 < a < 1 \)?
4. Какие ещё свойства есть у показательной функции?
5. Какое значение параметра \( a \) приводит к постоянной функции?

### Совет:
Для работы с показательной функцией полезно помнить правила степеней, так как они помогают упростить выражения и доказать тождества.

Выберите правильные утверждения: Рассматривается показательная функция y(x) = a^x, x ∈ R, a ∈ R, a > 0, тогда справедливы следующие утверждения: областью определения данной функции является множество натуральных чисел, y(x1 ⋅ x2) = (y(x1))^x2, функция возрастает при a > 1, y(x1 + x2) = y(x1) + y(x2)

Explore the properties of exponential functions with y(x) = a^x for a > 0. Understand domain, increasing behavior for a > 1, and evaluate statements about function values with operations on x. Ideal for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Выберите правильные утверждения: Рассматривается показательная функция
y ( x )

0 , тогда справедливы следующие утверждения областью определения данной функции является множество натуральных чисел y ( x 1 ⋅ x 2 )

y ( x 1 + x 2 )

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation