Math Problem Statement
ich verstehe die beiden von meiner Vorlesung nicht
Solution
Kein Problem! Ich werde die Inhalte aus den hochgeladenen Bildern analysieren und erklären.
Analyse des ersten Bildes:
Die Definition beschreibt den Erwartungswert einer Zufallsvariablen , deren Dichtefunktion bekannt ist. Der Erwartungswert ist definiert durch:
vorausgesetzt, ist integrierbar.
Gegebene Dichtefunktion:
Die Dichtefunktion ist stückweise definiert:
\begin{cases} 0, & \text{für } x < 24, \\ \frac{1}{2} e^{-(x-24)/2}, & \text{für } x \geq 24. \end{cases}$$ #### Ziel: Berechnung von $$E(X)$$ 1. Da $$f(x) = 0$$ für $$x < 24$$, reduziert sich das Integral auf: $$E(X) = \int_{24}^\infty x \cdot f(x) \, dx = \int_{24}^\infty x \cdot \frac{1}{2} e^{-(x-24)/2} \, dx.$$ 2. Mithilfe der **partiellen Integration** wird dieses Integral gelöst. Die Formel lautet: $$\int u \, v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx.$$ Hier werden $$u = x$$ und $$v' = \frac{1}{2} e^{-(x-24)/2}$$ gewählt. 3. Die Rechnung im Bild führt zum Ergebnis: $$E(X) = 24 + 2 = 26.$$ --- ### **Analyse des zweiten Bildes:** Hier wird die **Varianz** $$\text{Var}(X)$$ betrachtet. Die Varianz ist definiert als: $$\text{Var}(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2,$$ wobei: - $$E(X^2)$$ der Erwartungswert von $$X^2$$ ist, - $$\big(E(X)\big)^2$$ das Quadrat des Erwartungswertes $$E(X)$$. #### Vorgehen: 1. $$E(X^2)$$ wird berechnet durch: $$E(X^2) = \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot f(x) \, dx.$$ 2. Für die gegebene Dichtefunktion gilt: $$E(X^2) = \int_{24}^\infty x^2 \cdot \frac{1}{2} e^{-(x-24)/2} \, dx.$$ 3. Das Integral wird wieder mit partieller Integration berechnet (ähnlich wie bei $$E(X)$$, nur dass jetzt $$u = x^2$$ gewählt wird). 4. Nach der Berechnung von $$E(X^2)$$ wird $$\text{Var}(X)$$ mit der obigen Formel berechnet. --- ### **Zusammenfassung:** - Der **Erwartungswert** $$E(X)$$ wurde zu **26** berechnet. - Für die **Varianz** $$\text{Var}(X)$$ muss das Integral für $$E(X^2)$$ weitergeführt werden. --- Hast du zu den Rechnungen konkrete Fragen? Möchtest du, dass ich bestimmte Schritte detaillierter erkläre oder etwas ergänze? --- ### **Verwandte Fragen:** 1. Was bedeutet der Erwartungswert $$E(X)$$ und wie interpretiert man ihn? 2. Wie wird die Formel für die Varianz hergeleitet? 3. Wann ist eine Funktion $$f(x)$$ eine gültige Dichtefunktion? 4. Warum wird $$f(x) = 0$$ für $$x < 24$$ in der Berechnung von $$E(X)$$ ignoriert? 5. Wie funktioniert die partielle Integration Schritt für Schritt? --- ### **Tipp:** Wenn du Schwierigkeiten mit Integralen oder partieller Integration hast, übe zuerst einfache Beispiele, bevor du komplexe Dichtefunktionen wie hier behandelst.Ask a new question for Free
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Probability and Statistics
Expected Value
Variance
Probability Density Functions
Integration
Partial Integration
Formulas
Expected value: E(X) = ∫ x * f(x) dx
Variance: Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
Partial integration: ∫ u v' dx = u v - ∫ u' v dx
Theorems
Definition of Expected Value
Properties of Variance
Rules of Integration
Suitable Grade Level
Undergraduate Mathematics or Advanced High School (Grades 11-12)
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