Finding Probability Density, Expectation, and Variance from CDF of Random Variable X

Задача состоит в том, чтобы найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины $X$ , заданной функцией распределения $F(x)$ .

Функция распределения $F(x)$ для данной случайной величины представлена следующим образом:

\begin{cases} 0, & x \leq 2 \\ \frac{x}{2} - 1, & 2 < x \leq 4 \\ 1, & x > 4 \end{cases}$$ ### 1. **Нахождение плотности распределения вероятностей $$f(x)$$:** Плотность вероятности $$f(x)$$ — это производная функции распределения $$F(x)$$ по $$x$$, т.е.: $$f(x) = \frac{d}{dx} F(x)$$ Рассмотрим производные для каждого отрезка: - Для $$x \leq 2$$, функция $$F(x) = 0$$, следовательно $$f(x) = 0$$. - Для $$2 < x \leq 4$$, функция $$F(x) = \frac{x}{2} - 1$$, производная которой по $$x$$ равна $$f(x) = \frac{1}{2}$$. - Для $$x > 4$$, функция $$F(x) = 1$$, следовательно $$f(x) = 0$$. Итак, плотность вероятности $$f(x)$$ равна: $$f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 2 \\ \frac{1}{2}, & 2 < x \leq 4 \\ 0, & x > 4 \end{cases}$$ ### 2. **Математическое ожидание $$\mathbb{E}[X]$$:** Математическое ожидание для непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: $$\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$$ Для данной плотности $$f(x)$$ интегрируем только на интервале $$(2, 4)$$, так как за пределами этого интервала плотность равна нулю: $$\mathbb{E}[X] = \int_2^4 x \cdot \frac{1}{2} \, dx$$ Выполним интегрирование: \[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{2} \int_2^4 x \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_2^4 \] $$\mathbb{E}[X] = \frac{1}{2} \left( \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{16}{2} - \frac{4}{2} \right) = \frac{1}{2} (8 - 2) = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$$ Математическое ожидание $$\mathbb{E}[X] = 3$$. ### 3. **Дисперсия $$\text{Var}(X)$$:** Дисперсия случайной величины $$X$$ вычисляется по формуле: \[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 \] Сначала найдем $$\mathbb{E}[X^2]$$: $$\mathbb{E}[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx$$ Так как $$f(x) = \frac{1}{2}$$ на интервале $$(2, 4)$$, интегрируем на этом интервале: $$\mathbb{E}[X^2] = \int_2^4 x^2 \cdot \frac{1}{2} \, dx$$ Выполним интегрирование: \[ \mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{2} \int_2^4 x^2 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_2^4 \] $$\mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{2} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{2^3}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{64}{3} - \frac{8}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{56}{3} = \frac{28}{3}$$ Теперь, вычислим дисперсию: \[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 = \frac{28}{3} - 3^2 = \frac{28}{3} - 9 = \frac{28}{3} - \frac{27}{3} = \frac{1}{3} \] Дисперсия $$\text{Var}(X) = \frac{1}{3}$$. ### Ответ: - Плотность распределения вероятностей: $$f(x) = \frac{1}{2}$$ на интервале $$(2, 4)$$, и $$f(x) = 0$$ в остальной части. - Математическое ожидание $$\mathbb{E}[X] = 3$$. - Дисперсия $$\text{Var}(X) = \frac{1}{3}$$. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснение по какому-то шагу, пожалуйста, сообщите! **Дополнительные вопросы:** 1. Как можно интерпретировать плотность вероятности для случайной величины? 2. Как изменяется математическое ожидание при изменении функции распределения? 3. Как вычислить функции распределения для других типов случайных величин? 4. Почему важно рассчитывать дисперсию и как она влияет на поведение случайной величины? 5. Как можно применить функции распределения в реальных задачах? **Совет:** При работе с распределениями всегда полезно рисовать график функции распределения, чтобы лучше понимать поведение случайной величины.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation