El ejercicio nos pide encontrar la esperanza matemática de $(ae^{bZ} - c)^+$, donde $Z \sim N(0,1)$, es decir, una variable aleatoria con distribución normal estándar. El operador $x^+ = \max(x, 0)$ indica que solo tomamos los valores positivos del argumento.

Pasos:

1. Definición de la esperanza: Queremos calcular $E[(ae^{bZ} - c)^+]$, lo que se puede reescribir como:

   [ E[(ae^{bZ} - c)^+] = E[\max(ae^{bZ} - c, 0)] ]

2. Cambio de variable: Dado que $Z \sim N(0,1)$, podemos sustituir en términos de la función de densidad de una normal estándar:

   $E[\max(ae^{bZ} - c, 0)] = \int_{-\infty}^{\infty} \max(ae^{bz} - c, 0) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \, dz$

3. Simplificación: Este integral puede dividirse en dos partes:

   • Para $z$ tal que $ae^{bz} > c$, es decir, cuando $z > \frac{1}{b} \ln\left(\frac{c}{a}\right)$, se toma el valor $ae^{bz} - c$.
   • Para $z \leq \frac{1}{b} \ln\left(\frac{c}{a}\right)$, el valor es 0 (por la definición del valor positivo).

4. Resultado: Este tipo de problemas a menudo se resuelve mediante el uso de tablas o aproximaciones específicas para la integral esperada de funciones exponenciales de una normal estándar. Un resultado conocido para esta forma particular es:

   $E[(ae^{bZ} - c)^+] = a e^{\frac{b^2}{2}} \Phi\left( \frac{\ln(a/c) - b^2}{b} \right)$

   Donde $\Phi(\cdot)$ es la función de distribución acumulada de la normal estándar.

Este es el resultado resumido. ¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se deriva la esperanza de una función exponencial de una normal estándar?
2. ¿Qué significa la función $\Phi(x)$ y cómo se calcula en este contexto?
3. ¿Cómo influye la constante $b$ en el comportamiento de la función?
4. ¿Qué sucede si $c = 0$? ¿Cómo cambia la integral?
5. ¿Cómo se utiliza la integral de funciones exponenciales en otras distribuciones?

Tip: Cuando veas exponentes con distribuciones normales, muchas veces usarás transformaciones logarítmicas o tablas específicas para resolver las esperanzas.