Considere la siguiente integral integral subíndice 0 superíndice 1 abrir paréntesis normal pi elevado a 4 fin elevado más fracción numerador normal e elevado a 3 espacio normal x fin elevado entre denominador 10 fin fracción cerrar paréntesis d x El valor exacto es

Consideremos la siguiente integral:

\[
\int_0^1 \left( \pi^4 + \frac{e^3 \cdot x}{10} \right) dx
\]

Para resolverla, descompondremos la integral en dos partes, ya que la integral es una suma de dos términos:

\[
\int_0^1 \pi^4 dx + \int_0^1 \frac{e^3 \cdot x}{10} dx
\]

### Primera parte: \(\int_0^1 \pi^4 dx\)
Esta es una integral de una constante, lo cual resulta en:

\[
\pi^4 \cdot \left[x\right]_0^1 = \pi^4 \cdot (1 - 0) = \pi^4
\]

### Segunda parte: \(\int_0^1 \frac{e^3 \cdot x}{10} dx\)
Esta es una integral de una función lineal. La integral de \(x\) es \(\frac{x^2}{2}\), por lo que:

\[
\frac{e^3}{10} \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{e^3}{10} \cdot \frac{1^2}{2} = \frac{e^3}{20}
\]

### Resultado final
Sumando ambas partes obtenemos el valor exacto de la integral:

\[
\pi^4 + \frac{e^3}{20}
\]

Este es el valor exacto de la integral.

---

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar en el tema:

1. ¿Cómo se calculan integrales definidas con diferentes límites de integración?
2. ¿Qué significan los términos \(\pi^4\) y \(e^3\) en matemáticas?
3. ¿Qué aplicaciones tienen las integrales en física y en la ingeniería?
4. ¿Cómo se resuelven integrales indefinidas?
5. ¿Cómo afecta la constante en la integral a su resultado final?

**Tip:** Las integrales de funciones lineales y constantes suelen ser fáciles de calcular si se recuerdan las reglas básicas de integración.

Discover the exact value of the integral \(\int_0^1 (\pi^4 + \frac{e^3 \cdot x}{10}) dx\) step-by-step. Learn how to decompose and solve definite integrals involving constants and linear functions. Suitable for advanced mathematics enthusiasts and students.

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