Чтобы вычислить определённый интеграл:

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)^4}$

мы воспользуемся некоторыми техниками интегрирования, такими как подстановка и использование таблиц интегралов, поскольку этот интеграл имеет форму, которая может быть выражена через известные функции.

Этот интеграл можно вычислить через подстановку или специальную формулу, однако его результат, используя стандартные методы, приводит к следующему ответу:

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)^4} = \frac{5\pi}{32}$

Подробное решение

Если вам нужно подробное объяснение процесса решения, включающего подстановку и применение специальных функций, пожалуйста, дайте знать.

Есть ли у вас вопросы по этому решению? Хотите увидеть шаги подробнее?

Вопросы для углубления:

1. Как можно применять подстановку для интегралов, где функция имеет форму $x^2 + 1$?
2. Какие специальные функции часто используются в интегралах с бесконечными пределами?
3. Как вычислить интеграл с бесконечными пределами через полярные координаты?
4. В каких случаях удобно использовать методы интегрирования по частям для подобных интегралов?
5. Каковы общие правила для интегралов вида $\int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^n}$?

Совет: Для интегралов с бесконечными пределами часто удобно использовать симметрию функции или известные табличные интегралы.