Aby obliczyć granicę

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\pi - 2 \arctan(x)}{e^{2/x} - 1},$

stosując regułę de l'Hopitala, musimy najpierw upewnić się, że granica ma postać, którą można zastosować tę regułę. Reguła de l'Hopitala jest stosowana w przypadku granic o postaci nieoznaczoną, tzn. $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$.

1. Sprawdzamy postać granicy

• W liczniku: $\pi - 2 \arctan(x)$ – gdy $x \to +\infty$, $\arctan(x) \to \frac{\pi}{2}$, więc licznik staje się $\pi - 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 0$.
• W mianowniku: $e^{2/x} - 1$ – gdy $x \to +\infty$, $2/x \to 0$, więc $e^{2/x} \to e^0 = 1$, więc mianownik staje się $1 - 1 = 0$.

Mamy więc postać $\frac{0}{0}$, a więc możemy zastosować regułę de l'Hopitala.

2. Zastosowanie reguły de l'Hopitala

Zgodnie z regułą de l'Hopitala, możemy obliczyć granicę przez obliczenie granicy ilorazu pochodnych licznika i mianownika. Zaczynamy od obliczenia pochodnych licznika i mianownika:

• Licznik: $\frac{d}{dx} \left( \pi - 2 \arctan(x) \right) = - \frac{2}{1 + x^2}$
• Mianownik: $\frac{d}{dx} \left( e^{2/x} - 1 \right) = - \frac{2}{x^2} e^{2/x}$

Teraz mamy nową granicę:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac{2}{1+x^2}}{-\frac{2}{x^2} e^{2/x}}.$

Po uproszczeniu:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 e^{2/x}}{1 + x^2}.$

3. Obliczenie granicy

Gdy $x \to +\infty$, $e^{2/x} \to 1$, więc granica staje się:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{1 + x^2}.$

Ponieważ dla dużych $x$, $1 + x^2$ jest praktycznie równy $x^2$, mamy:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2} = 1.$

4. Odpowiedź

Ostatecznie granica wynosi:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\pi - 2 \arctan(x)}{e^{2/x} - 1} = 1.$

---

Czy chcesz więcej szczegółów dotyczących poszczególnych kroków, lub masz inne pytania?

Inne pytania:

1. Jak wyznaczyć granice w innych przypadkach, np. $\frac{0}{\infty}$?
2. Co się dzieje, gdy mianownik dąży do $0$, a licznik do $\infty$?
3. Jak rozwiązać granice, które mają formę $\infty/\infty$, ale z różnymi funkcjami wykładniczymi?
4. Jakie inne metody obliczania granic oprócz reguły de l'Hopitala mogą być użyteczne w tym przypadku?
5. Czy reguła de l'Hopitala działa w przypadkach, gdy funkcje w liczniku i mianowniku zawierają logarytmy?

Tip:

Zanim zastosujesz regułę de l'Hopitala, zawsze sprawdź, czy masz odpowiednią postać nieoznaczoną (np. $0/0$ lub $\infty/\infty$), a jeśli nie, spróbuj przekształcić wyrażenie.