La série en question est la suivante :

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{n^2}$

1. Analyse de la forme de la série :

On peut factoriser le terme $\sin(x)$ car il ne dépend pas de la variable $n$. Cela nous donne :

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{n^2} = \sin(x) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$

Ainsi, la série devient un produit de deux termes :

• $\sin(x)$ qui est une constante par rapport à $n$,
• $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$, qui est une série classique de type série de Bâle.

2. Convergence de la série de Bâle :

La série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ est bien connue et converge vers une valeur finie, qui est :

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

Donc, la série initiale converge pour toutes les valeurs de $x$, car $\sin(x)$ est une fonction bornée (puisqu'elle prend des valeurs entre -1 et 1).

3. Nature de la série :

La série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{n^2}$ converge absolument pour toute valeur réelle de $x$, car la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ converge absolument (et indépendamment de $x$).

4. Somme de la série :

La somme de la série peut être exprimée comme :

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{n^2} = \sin(x) \cdot \frac{\pi^2}{6}$

Cela montre que la série converge et que sa somme est une fonction de $\sin(x)$.

Conclusion :

La série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{n^2}$ converge absolument pour toutes les valeurs de $x$, et sa somme est égale à $\sin(x) \cdot \frac{\pi^2}{6}$.

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Voulez-vous des précisions supplémentaires sur certains aspects de cette série ?

Voici cinq questions qui peuvent approfondir le sujet :

1. Qu'est-ce qu'une série de Bâle et pourquoi est-elle importante ?
2. Comment déterminer la convergence d'une série qui dépend d'une variable comme $x$ ?
3. Quelle est la différence entre la convergence absolue et la convergence conditionnelle ?
4. Comment peut-on utiliser les séries trigonométriques pour résoudre des problèmes physiques ?
5. Quelles sont les séries classiques qui apparaissent fréquemment en analyse ?

Astuce : Lorsque vous rencontrez une série avec un terme constant (comme $\sin(x)$) multipliant un terme de somme, vous pouvez souvent extraire ce terme constant et ne travailler qu'avec la série restante.