Et mål på luftkvalitet er konsentrasjonen av NO2NO2 i luften. På Trondheim Torg måles jevnlig konsentrasjonen av NO2NO2, og fra erfaring antas det at denne er normalfordelt med ukjent forventningsverdi μ mikrogram/m3μ mikrogram/m3 og ukjent standardavvik σ mikrogram/m3σ mikrogram/m3. 

Vi ønsker å måle konsentrasjonen av NO2 i luften og skal benytte oss av estimatoren X¯=X1+X2+⋯+X¯=X1+X2+⋯+X5 der Xi-ene er målinger av konsentrasjonen i luften som antas uavhengige med fordeling N(μ,σ).

Vi har gjort følgende 5 uavhengige målinger av NO2 konsentrasjonen på Trondheim Torg:

x1=11.23,x2=13.23,x3=14.04,x4=12.51, og x5=13.51

For å svare på spørsmålene kan du bruke at ∑5i=1xi=64.52∑i=15xi=64.52  og at ∑5i=1(xi−x¯)2=4.72∑i=15(xi−x¯)2=4.72.

a) Hva blir den estimerte forventningsverdien? Oppgi svaret som et desimaltall med to desimaler. 

b) Og hva blir estimert standardfeil (standardavvik) til estimatoren X¯X¯ ? Oppgi svaret som et desimaltall med to desimaler. 

Vi har fem uavhengige målinger av konsentrasjonen av NO₂, og vi skal estimere den estimerte forventningsverdien \(\hat{\mu}\) og standardfeilen til gjennomsnittet.

### a) Estimert forventningsverdi (\(\hat{\mu}\)):

Den estimerte forventningsverdien for \(\mu\) er gjennomsnittet av de fem målingene. Det kan uttrykkes som:
\[
\hat{\mu} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_i = \frac{64.52}{5}
\]

Vi regner ut:
\[
\hat{\mu} = \frac{64.52}{5} = 12.904
\]

Rundet til to desimaler blir:
\[
\hat{\mu} = 12.90
\]

### b) Estimert standardfeil (standardavvik) til estimatoren \(\bar{X}\):

Standardfeilen for gjennomsnittet er gitt av:
\[
SE(\bar{X}) = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}
\]
hvor \(\hat{\sigma}\) er estimert standardavvik, og \(n = 5\) er antall observasjoner.

Estimert standardavvik (\(\hat{\sigma}\)) kan finnes ved å bruke formelen:
\[
\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2}
\]
Her har vi blitt gitt at \(\sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2 = 4.72\). Dermed blir:
\[
\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{4.72}{5 - 1}} = \sqrt{\frac{4.72}{4}} = \sqrt{1.18} = 1.086
\]

Standardfeilen blir derfor:
\[
SE(\bar{X}) = \frac{1.086}{\sqrt{5}} = \frac{1.086}{2.236} \approx 0.486
\]

Rundet til to desimaler blir:
\[
SE(\bar{X}) \approx 0.49
\]

### Oppsummering:
- a) Den estimerte forventningsverdien er \(\hat{\mu} = 12.90\).
- b) Den estimerte standardfeilen er \(SE(\bar{X}) = 0.49\).

Ønsker du flere detaljer eller har noen spørsmål?

### Relaterte spørsmål:
1. Hva er forskjellen på forventningsverdi og standardavvik?
2. Hvordan ville estimatene endret seg med flere målinger?
3. Hva betyr det at målingene er normalfordelt?
4. Hvordan tolker man standardfeil i praktiske målinger?
5. Hva ville vært effekten av å bruke en større utvalgskapasitet for å estimere \(\hat{\mu}\)?

### Tips:
Når du beregner standardfeil for et gjennomsnitt, vil en større utvalgsstørrelse redusere standardfeilen og gi et mer nøyaktig estimat av forventningsverdien.

Et mål på luftkvalitet er konsentrasjonen av NO2 i luften. På Trondheim Torg måles jevnlig konsentrasjonen av NO2, og fra erfaring antas det at denne er normalfordelt med ukjent forventningsverdi μ mikrogram/m3 og ukjent standardavvik σ mikrogram/m3. Vi ønsker å måle konsentrasjonen av NO2 i luften og skal benytte oss av estimatoren X¯=X1+X2+⋯+X5 der Xi-ene er målinger av konsentrasjonen i luften som antas uavhengige med fordeling N(μ,σ). Vi har gjort følgende 5 uavhengige målinger av NO2 konsentrasjonen på Trondheim Torg: x1=11.23,x2=13.23,x3=14.04,x4=12.51, og x5=13.51. For å svare på spørsmålene kan du bruke at ∑5i=1xi=64.52 og at ∑5i=1(xi−x¯)2=4.72. a) Hva blir den estimerte forventningsverdien? Oppgi svaret som et desimaltall med to desimaler. b) Og hva blir estimert standardfeil (standardavvik) til estimatoren X¯ ? Oppgi svaret som et desimaltall med to desimaler.

Learn how to estimate the expected value (mean) and standard error of NO2 concentration measurements taken at Trondheim Torg. This problem involves the normal distribution, estimation of population mean, and calculation of standard error using five independent measurements. Ideal for university-level statistics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation