Vi har fem uavhengige målinger av konsentrasjonen av NO₂, og vi skal estimere den estimerte forventningsverdien $\hat{\mu}$ og standardfeilen til gjennomsnittet.

a) Estimert forventningsverdi ($\hat{\mu}$):

Den estimerte forventningsverdien for $\mu$ er gjennomsnittet av de fem målingene. Det kan uttrykkes som: $\hat{\mu} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_i = \frac{64.52}{5}$

Vi regner ut: $\hat{\mu} = \frac{64.52}{5} = 12.904$

Rundet til to desimaler blir: $\hat{\mu} = 12.90$

b) Estimert standardfeil (standardavvik) til estimatoren $\bar{X}$:

Standardfeilen for gjennomsnittet er gitt av: $SE(\bar{X}) = \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}$ hvor $\hat{\sigma}$ er estimert standardavvik, og $n = 5$ er antall observasjoner.

Estimert standardavvik ($\hat{\sigma}$) kan finnes ved å bruke formelen: $\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2}$ Her har vi blitt gitt at $\sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2 = 4.72$. Dermed blir: $\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{4.72}{5 - 1}} = \sqrt{\frac{4.72}{4}} = \sqrt{1.18} = 1.086$

Standardfeilen blir derfor: $SE(\bar{X}) = \frac{1.086}{\sqrt{5}} = \frac{1.086}{2.236} \approx 0.486$

Rundet til to desimaler blir: $SE(\bar{X}) \approx 0.49$

Oppsummering:

• a) Den estimerte forventningsverdien er $\hat{\mu} = 12.90$.
• b) Den estimerte standardfeilen er $SE(\bar{X}) = 0.49$.

Ønsker du flere detaljer eller har noen spørsmål?

Relaterte spørsmål:

1. Hva er forskjellen på forventningsverdi og standardavvik?
2. Hvordan ville estimatene endret seg med flere målinger?
3. Hva betyr det at målingene er normalfordelt?
4. Hvordan tolker man standardfeil i praktiske målinger?
5. Hva ville vært effekten av å bruke en større utvalgskapasitet for å estimere $\hat{\mu}$?

Tips:

Når du beregner standardfeil for et gjennomsnitt, vil en større utvalgsstørrelse redusere standardfeilen og gi et mer nøyaktig estimat av forventningsverdien.