Задание 4.5. Анализ утверждений:

1. Если технология характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то предельные продукты обоих факторов (в случае двухфакторной технологии) или единственного фактора (для однофакторной технологии) могут быть постоянны.

   Постоянная отдача от масштаба означает, что при увеличении всех факторов производства в одинаковой пропорции выпуск увеличивается в той же пропорции. Однако это не обязательно означает, что предельные продукты факторов постоянны. Предельные продукты могут изменяться даже при постоянной отдаче от масштаба. Это утверждение неверно.

2. Если для двухфакторной технологии предельные продукты обоих факторов убывают, то технология характеризуется возрастающей отдачей от масштаба.

   Это утверждение неверно, потому что убывание предельных продуктов обычно связано с уменьшением отдачи от масштаба, а не с её возрастанием. Возрастающая отдача от масштаба предполагает, что при увеличении всех факторов производства в одинаковой пропорции выпуск увеличивается в большей пропорции, но это не связано с предельными продуктами.

3. Если для однофакторной технологии предельный продукт убывает, то технология не может характеризоваться возрастающей отдачей от масштаба.

   Это утверждение верно, поскольку если предельный продукт уменьшается с увеличением фактора, то это свидетельствует о том, что при увеличении фактора выпуск увеличивается меньше пропорционально, что характерно для убывающей, а не возрастающей отдачи от масштаба.

---

Задание 4.8. Производственная функция: $f(x_1, x_2) = (x_1)^2 + (x_2)^2$

1. Технология удовлетворяет свойству выпуклости в производстве.

   Для проверки выпуклости нужно, чтобы производственная функция была выпуклой, т.е. увеличивалась менее чем пропорционально с увеличением факторов. Функция $f(x_1, x_2) = (x_1)^2 + (x_2)^2$ является выпуклой, потому что для всех $x_1, x_2$ производственная поверхность образует выпуклую форму. Это утверждение верно.

2. Технология характеризуется возрастающей отдачей от масштаба.

   Чтобы была возрастающая отдача от масштаба, увеличение всех факторов в одинаковой пропорции должно приводить к более чем пропорциональному увеличению выпуска. В данном случае, если увеличить $x_1$ и $x_2$ в $k$ раз, то $f(kx_1, kx_2) = k^2((x_1)^2 + (x_2)^2)$, что означает пропорциональное увеличение выпуска. Таким образом, функция демонстрирует постоянную отдачу от масштаба, а не возрастающую. Это утверждение неверно.

3. Для технологии не выполнен закон убывания предельного продукта.

   Предельные продукты $x_1$ и $x_2$ для функции $f(x_1, x_2) = (x_1)^2 + (x_2)^2$ равны $2x_1$ и $2x_2$ соответственно. Это линейные функции, и они возрастают с увеличением факторов, а не убывают. Следовательно, закон убывания предельного продукта не выполняется. Это утверждение верно.

---

Вопросы для расширения темы:

1. Как различие между убывающей и возрастающей отдачей от масштаба влияет на долгосрочное развитие фирм?
2. Какие примеры производственных функций демонстрируют возрастающую отдачу от масштаба?
3. Может ли выпуклая производственная функция иметь убывающую отдачу от масштаба?
4. Как связаны предельные продукты и общее количество факторов в технологии?
5. В каких случаях производственные функции могут нарушать закон убывания предельного продукта?

Совет:

При анализе производственных функций всегда полезно графически представлять поверхности выпуска, чтобы лучше понять свойства технологии, такие как выпуклость и отдача от масштаба.