У меня набор данных из трёх наблюдений: x=(1,2,3), y=(5,6,10). Чему равна МНК-оценка β^ в модели yi=3+βxi+ui? 
У меня набор данных из трёх наблюдений: x=(1,2,3), y=(5,6,10). Чему равна МНК-оценка β^ в модели yi=βxi+ui? 
У меня набор данных из трёх наблюдений: x=(1,2,3), y=(5,6,10). Чему равна МНК-оценка β^x в модели yi=β1+βxxi+ui? 

Давайте рассмотрим три разные модели и найдем оценки \(\hat{\beta}\) в каждой из них с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

### 1. Модель: \(y_i = 3 + \beta x_i + u_i\)

В данной модели \(y_i = 3 + \beta x_i + u_i\), предполагается, что \( \beta \) является единственным неизвестным параметром. Известно, что \(\beta\) оценивается с использованием остаточного метода наименьших квадратов, то есть минимизации суммы квадратов ошибок.

Для этой модели можно переписать значения \(y_i - 3 = \beta x_i + u_i\), и затем применить стандартную МНК-формулу:

\[
\hat{\beta} = \frac{\sum (x_i \cdot (y_i - 3))}{\sum (x_i^2)}
\]

Подставляем значения \(x = (1, 2, 3)\) и \(y = (5, 6, 10)\):

\[
\hat{\beta} = \frac{1 \cdot (5-3) + 2 \cdot (6-3) + 3 \cdot (10-3)}{1^2 + 2^2 + 3^2} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7}{1 + 4 + 9} = \frac{2 + 6 + 21}{14} = \frac{29}{14} \approx 2.07
\]

### 2. Модель: \(y_i = \beta x_i + u_i\)

Здесь у нас простая линейная модель без свободного члена. Оценка \(\hat{\beta}\) в модели \(y_i = \beta x_i + u_i\) находится по формуле:

\[
\hat{\beta} = \frac{\sum (x_i \cdot y_i)}{\sum (x_i^2)}
\]

Подставляем значения \(x = (1, 2, 3)\) и \(y = (5, 6, 10)\):

\[
\hat{\beta} = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 10}{1^2 + 2^2 + 3^2} = \frac{5 + 12 + 30}{1 + 4 + 9} = \frac{47}{14} \approx 3.36
\]

### 3. Модель: \(y_i = \beta_1 + \beta_x x_i + u_i\)

Здесь у нас множественная регрессия с двумя параметрами \(\beta_1\) и \(\beta_x\). Для оценки параметров \(\beta_1\) и \(\beta_x\) нам нужно использовать систему уравнений, основанную на методе наименьших квадратов. Для этого мы можем воспользоваться матричной формой:

\[
\hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T y
\]

Где \(X\) — это матрица, состоящая из столбца единиц (для \(\beta_1\)) и столбца значений \(x_i\), а \(y\) — вектор значений \(y_i\).

\[
X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}
\]

Теперь найдем \(\hat{\beta}_1\) и \(\hat{\beta}_x\).

1. \(X^T X = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 14 \end{pmatrix}\)
2. \(X^T y = \begin{pmatrix} 21 \\ 47 \end{pmatrix}\)

Теперь вычисляем \((X^T X)^{-1}\):

\[
(X^T X)^{-1} = \frac{1}{3 \cdot 14 - 6 \cdot 6} \begin{pmatrix} 14 & -6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{42 - 36} \begin{pmatrix} 14 & -6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 14 & -6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}
\]

Теперь находим \(\hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T y\):

\[
\hat{\beta} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 14 & -6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 21 \\ 47 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 14 \cdot 21 - 6 \cdot 47 \\ -6 \cdot 21 + 3 \cdot 47 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 294 - 282 \\ -126 + 141 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 12 \\ 15 \end{pmatrix}
\]

Таким образом, \(\hat{\beta}_1 = 2\) и \(\hat{\beta}_x = 2.5\).

### Ответы:
1. \(\hat{\beta} \approx 2.07\)
2. \(\hat{\beta} \approx 3.36\)
3. \(\hat{\beta}_1 = 2\) и \(\hat{\beta}_x = 2.5\)

---

Хотите узнать детали или у вас есть вопросы?

Вот 5 дополнительных вопросов по теме:
1. Как изменить модель, если добавить больше наблюдений?
2. Какова интерпретация коэффициентов в первой модели?
3. Влияет ли наличие свободного члена (\(\beta_1\)) на точность модели?
4. Какие предположения делаются при использовании МНК?
5. Как проверить адекватность полученной модели?

**Совет:** Для проверки правильности оценок используйте графическое представление регрессионной линии с фактическими данными.

У меня набор данных из трёх наблюдений: x=(1,2,3), y=(5,6,10). Чему равна МНК-оценка β^ в модели yi=3+βxi+ui? У меня набор данных из трёх наблюдений: x=(1,2,3), y=(5,6,10). Чему равна МНК-оценка β^ в модели yi=βxi+ui? У меня набор данных из трёх наблюдений: x=(1,2,3), y=(5,6,10). Чему равна МНК-оценка β^x в модели yi=β1+βxxi+ui?

Explore the solution for OLS estimations for three different linear regression models using data x=(1,2,3) and y=(5,6,10). Learn step-by-step how to compute the β^ estimates for simple and multiple linear regression models. Ideal for students at the undergraduate level studying statistics or econometrics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation