diberikan fungsi f(x) = a + x−b*x*−*b*​ dan g(x) = (x - a)^2 + b untuk sebarang bilangan real a dan b.
a. dapatkan domain dan range dari f(x)
b. dapatkan domain g(x) agar fungsi f(x) dan g(x) saling invers. Jelaskan jawaban anda.
c. gambar sketsa kurva f(x) dan f^-1(x) dalam satu bidang koordinat.

Diberikan fungsi \( f(x) = a + x - b \cdot x - b \) dan \( g(x) = (x - a)^2 + b \), kita akan menyelesaikan bagian-bagian soal tersebut dengan langkah-langkah berikut.

### a. Domain dan range dari \( f(x) \)

**Fungsi:**

\( f(x) = a + x - b \cdot x - b \)

Sederhanakan fungsi tersebut:

\[
f(x) = a + (1 - b)x
\]

**Domain:**
Fungsi ini adalah fungsi linear, sehingga tidak ada pembatasan khusus pada nilai \( x \). Jadi, domain dari \( f(x) \) adalah semua bilangan real, yaitu:

\[
\text{Domain} f(x) = \mathbb{R}
\]

**Range:**
Karena \( f(x) \) merupakan fungsi linear, range-nya juga adalah seluruh bilangan real. Oleh karena itu:

\[
\text{Range} f(x) = \mathbb{R}
\]

### b. Domain \( g(x) \) agar \( f(x) \) dan \( g(x) \) saling invers

Agar \( f(x) \) dan \( g(x) \) saling invers, kita harus memastikan bahwa \( f(g(x)) = x \) dan \( g(f(x)) = x \). Mari kita mulai dengan mencari inversi dari \( f(x) \) dan \( g(x) \).

1. **Inversi dari \( f(x) \)**:
   
   Mulai dari \( f(x) = a + (1 - b)x \).

   Untuk mendapatkan inversinya, kita buat:

   \[
   y = a + (1 - b)x
   \]

   Kemudian, kita pecahkan untuk \( x \):

   \[
   y - a = (1 - b)x
   \]
   \[
   x = \frac{y - a}{1 - b}
   \]

   Jadi, inversi dari \( f(x) \) adalah:

   \[
   f^{-1}(x) = \frac{x - a}{1 - b}
   \]

2. **Inversi dari \( g(x) \)**:

   Fungsi \( g(x) = (x - a)^2 + b \) adalah fungsi kuadrat. Kita akan mencari inversinya:

   \[
   y = (x - a)^2 + b
   \]

   Pecahkan untuk \( x \):

   \[
   y - b = (x - a)^2
   \]
   \[
   x - a = \pm \sqrt{y - b}
   \]
   \[
   x = a \pm \sqrt{y - b}
   \]

   Karena \( f(x) \) adalah fungsi linear yang tidak memiliki percabangan, kita harus memilih hanya satu solusi dari \( x = a + \sqrt{y - b} \) atau \( x = a - \sqrt{y - b} \). Agar \( g(x) \) bersifat satu-ke-satu dan dapat memiliki invers, kita batasi domain \( g(x) \) sehingga hanya satu cabang yang diambil.

   Oleh karena itu, kita tetapkan domain \( g(x) \) sebagai:

   \[
   \text{Domain } g(x) = [a, \infty)
   \]

### c. Sketsa Kurva \( f(x) \) dan \( f^{-1}(x) \)

Untuk sketsa kurva, berikut adalah langkah-langkah untuk menggambar \( f(x) \) dan \( f^{-1}(x) \) pada bidang koordinat yang sama:

- \( f(x) = a + (1 - b)x \) adalah garis lurus dengan kemiringan \( 1 - b \).
- \( f^{-1}(x) = \frac{x - a}{1 - b} \) juga merupakan garis lurus yang merupakan pencerminan dari \( f(x) \) terhadap garis \( y = x \).

Jika \( a = 0 \) dan \( b = 0 \), kedua garis ini akan menjadi pencerminan yang sempurna.

Saya dapat membuat visualisasi sketsa untuk lebih jelas. Apakah Anda ingin saya melanjutkan untuk membuat gambar kurvanya?

Diberikan fungsi f(x) = a + x - b * x - b dan g(x) = (x - a)^2 + b untuk sebarang bilangan real a dan b.
a. dapatkan domain dan range dari f(x)
b. dapatkan domain g(x) agar fungsi f(x) dan g(x) saling invers. Jelaskan jawaban anda.
c. gambar sketsa kurva f(x) dan f^-1(x) dalam satu bidang koordinat.

Learn how to find the domain and range of a linear function f(x) and determine the domain of a quadratic function g(x) for their inverse relationship. Includes step-by-step solutions, key algebraic formulas, and a graph of f(x) and its inverse. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation