Diberikan fungsi $f(x) = a + x - b \cdot x - b$ dan $g(x) = (x - a)^2 + b$, kita akan menyelesaikan bagian-bagian soal tersebut dengan langkah-langkah berikut.

a. Domain dan range dari $f(x)$

Fungsi:

$f(x) = a + x - b \cdot x - b$

Sederhanakan fungsi tersebut:

$f(x) = a + (1 - b)x$

Domain: Fungsi ini adalah fungsi linear, sehingga tidak ada pembatasan khusus pada nilai $x$. Jadi, domain dari $f(x)$ adalah semua bilangan real, yaitu:

$\text{Domain} f(x) = \mathbb{R}$

Range: Karena $f(x)$ merupakan fungsi linear, range-nya juga adalah seluruh bilangan real. Oleh karena itu:

$\text{Range} f(x) = \mathbb{R}$

b. Domain $g(x)$ agar $f(x)$ dan $g(x)$ saling invers

Agar $f(x)$ dan $g(x)$ saling invers, kita harus memastikan bahwa $f(g(x)) = x$ dan $g(f(x)) = x$. Mari kita mulai dengan mencari inversi dari $f(x)$ dan $g(x)$.

1. Inversi dari $f(x)$:

   Mulai dari $f(x) = a + (1 - b)x$.

   Untuk mendapatkan inversinya, kita buat:

   $y = a + (1 - b)x$

   Kemudian, kita pecahkan untuk $x$:

   $y - a = (1 - b)x$ $x = \frac{y - a}{1 - b}$

   Jadi, inversi dari $f(x)$ adalah:

   $f^{-1}(x) = \frac{x - a}{1 - b}$

2. Inversi dari $g(x)$:

   Fungsi $g(x) = (x - a)^2 + b$ adalah fungsi kuadrat. Kita akan mencari inversinya:

   $y = (x - a)^2 + b$

   Pecahkan untuk $x$:

   $y - b = (x - a)^2$ $x - a = \pm \sqrt{y - b}$ $x = a \pm \sqrt{y - b}$

   Karena $f(x)$ adalah fungsi linear yang tidak memiliki percabangan, kita harus memilih hanya satu solusi dari $x = a + \sqrt{y - b}$ atau $x = a - \sqrt{y - b}$. Agar $g(x)$ bersifat satu-ke-satu dan dapat memiliki invers, kita batasi domain $g(x)$ sehingga hanya satu cabang yang diambil.

   Oleh karena itu, kita tetapkan domain $g(x)$ sebagai:

   $\text{Domain } g(x) = [a, \infty)$

c. Sketsa Kurva $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$

Untuk sketsa kurva, berikut adalah langkah-langkah untuk menggambar $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ pada bidang koordinat yang sama:

• $f(x) = a + (1 - b)x$ adalah garis lurus dengan kemiringan $1 - b$.
• $f^{-1}(x) = \frac{x - a}{1 - b}$ juga merupakan garis lurus yang merupakan pencerminan dari $f(x)$ terhadap garis $y = x$.

Jika $a = 0$ dan $b = 0$, kedua garis ini akan menjadi pencerminan yang sempurna.

Saya dapat membuat visualisasi sketsa untuk lebih jelas. Apakah Anda ingin saya melanjutkan untuk membuat gambar kurvanya?