A função dada é:

$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x^2 - 1}$

Para encontrar o domínio da função $f(x)$, precisamos garantir que:

1. A expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa, já que não podemos calcular a raiz quadrada de um número negativo nos números reais.
2. O denominador não seja zero, pois a divisão por zero não é definida.

Passo 1: Verificar a expressão dentro da raiz quadrada

A expressão dentro da raiz quadrada é $x^2 + 1$. Como $x^2$ é sempre não negativo (isto é, $x^2 \geq 0$), temos:

$x^2 + 1 \geq 1 > 0$

Portanto, a expressão $\sqrt{x^2 + 1}$ é sempre bem definida para todos os valores de $x$.

Passo 2: Verificar o denominador

O denominador da função é $x^2 - 1$. Precisamos garantir que o denominador não seja igual a zero, ou seja:

$x^2 - 1 \neq 0$

Resolvendo essa equação:

$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$

Portanto, $f(x)$ não está definida para $x = 1$ e $x = -1$.

Conclusão

O domínio da função é todos os números reais, exceto $x = 1$ e $x = -1$. Em notação matemática, o domínio é:

$D(f) = \mathbb{R} \setminus \{1, -1\}$

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir:

1. Como determinar o domínio de uma função que envolve raízes quadradas?
2. O que acontece se o denominador de uma função for zero?
3. Como encontrar o domínio de funções com logaritmos?
4. Como podemos encontrar o contradomínio de uma função semelhante?
5. Quais são os principais casos em que uma função pode não estar definida?

Dica: Sempre que trabalhar com funções racionais, verifique o denominador para evitar divisões por zero.