برای تعیین دامنه تابع $y = \log_3(\log_7(x) - 2)$، باید شرایط وجود لگاریتم‌های متوالی را بررسی کنیم.

مرحله 1: شرط اول

ابتدا باید شرط داخل لگاریتم دوم، یعنی $\log_7(x) - 2$، مثبت باشد:

$\log_7(x) - 2 > 0$

با اضافه کردن $2$ به هر دو طرف معادله، داریم:

$\log_7(x) > 2$

اکنون $x$ را از این نابرابری به دست می‌آوریم. چون پایه لگاریتم مثبت است (یعنی 7)، می‌توانیم نابرابری را به صورت زیر بنویسیم:

$x > 7^2$

بنابراین:

$x > 49$

مرحله 2: شرط دوم

اکنون باید بررسی کنیم که خود عبارت $\log_7(x) - 2$ در تابع $\log_3(\cdot)$ تعریف شده باشد. برای این منظور، لازم است که این عبارت نیز مثبت باشد:

$\log_3(\log_7(x) - 2) > 0$

اما از آنجا که مرحله اول به ما گفت $\log_7(x) - 2 > 0$ باید این شرط برقرار باشد و لذا نیازی به بررسی دوباره آن نیست.

نتیجه‌گیری

بنابراین دامنه تابع به صورت زیر است:

$x > 49$

سوالات مرتبط:

1. اگر پایه لگاریتم 7 تغییر کند، چگونه دامنه تابع تغییر خواهد کرد؟
2. چگونه می‌توان توابع با چندین لگاریتم متوالی را تحلیل کرد؟
3. اگر به جای $-2$ مقدار دیگری در لگاریتم دوم قرار گیرد، دامنه تابع چه تغییری می‌کند؟
4. چه روشی برای حل نابرابری‌های لگاریتمی با پایه‌های مختلف وجود دارد؟
5. چرا دامنه توابع لگاریتمی به شدت وابسته به مقادیر داخل لگاریتم است؟

نکته:

در بررسی دامنه توابع مرکب، هر لگاریتم باید به طور جداگانه تحلیل شود تا شرط‌های لازم برای تعریف هر بخش از تابع به درستی در نظر گرفته شود.