برای تعیین دامنه تابع $y = \log_7(x^3 - x)$، باید شرط وجود لگاریتم را در نظر بگیریم.

تابع لگاریتم تنها زمانی تعریف می‌شود که عبارت داخل لگاریتم مثبت باشد. بنابراین باید شرط زیر را بررسی کنیم:

$x^3 - x > 0$

برای حل این نابرابری، ابتدا معادله را به صورت زیر تجزیه می‌کنیم:

$x(x^2 - 1) > 0$

سپس، عبارت $x^2 - 1$ را به صورت زیر تجزیه می‌کنیم:

$x(x - 1)(x + 1) > 0$

حالا باید بررسی کنیم که در کدام بازه‌ها حاصل‌ضرب این سه عبارت مثبت می‌شود. نقاط بحرانی معادله $x(x - 1)(x + 1) = 0$ عبارت‌اند از $x = 0$، $x = -1$ و $x = 1$. سپس با استفاده از روش تعیین علامت، علامت هر بازه را بررسی می‌کنیم.

بازه‌های مورد نظر عبارت‌اند از:

• برای $x < -1$: هر سه عبارت منفی هستند، بنابراین حاصل‌ضرب منفی است.
• برای $-1 < x < 0$: عبارت $x + 1$ مثبت، ولی دو عبارت دیگر منفی هستند، بنابراین حاصل‌ضرب مثبت است.
• برای $0 < x < 1$: عبارت $x - 1$ منفی است، ولی دو عبارت دیگر مثبت هستند، بنابراین حاصل‌ضرب منفی است.
• برای $x > 1$: هر سه عبارت مثبت هستند، بنابراین حاصل‌ضرب مثبت است.

بنابراین دامنه تابع به صورت زیر است:

$(-1, 0) \cup (1, \infty)$

سوالات مرتبط:

1. چگونه می‌توانیم دامنه توابع پیچیده‌تر لگاریتمی را به دست آوریم؟
2. آیا شرایط دیگری نیز وجود دارد که باید در تعیین دامنه توابع لگاریتمی در نظر گرفت؟
3. چرا لگاریتم‌ها برای اعداد منفی یا صفر تعریف نمی‌شوند؟
4. چگونه می‌توان نابرابری‌های چند متغیره را برای تعیین دامنه حل کرد؟
5. چه ارتباطی بین دامنه یک تابع و نمودار آن وجود دارد؟

نکته:

به یاد داشته باشید که برای هر تابع لگاریتمی، عبارت داخل لگاریتم باید همیشه مثبت باشد و نمی‌تواند صفر یا منفی شود.