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Por el inciso c), podrías ayudarme a solucionar desde ahí, pero muy bien explicado? Se tiene que hacer una integral definida en alguno de los pasos? 

Claro, te ayudaré a resolver el inciso **c)** paso a paso y con una explicación clara.

El inciso **c)** dice:

**¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo \[6,12\]?**

### Contexto:
Sabemos que la aceleración de la partícula está dada por:

\[
f''(t) = 2t + 7
\]

Para determinar la distancia recorrida (el desplazamiento) entre \( t = 6 \) y \( t = 12 \), debemos seguir estos pasos:

### Paso 1: Obtener la función de velocidad \( f'(t) \)

Sabemos que la aceleración es la derivada de la velocidad. Entonces, para obtener la velocidad, necesitamos integrar la función de aceleración \( f''(t) \):

\[
f'(t) = \int (2t + 7) \, dt
\]

Resolvamos esta integral:

\[
f'(t) = \int 2t \, dt + \int 7 \, dt = t^2 + 7t + C_1
\]

Donde \( C_1 \) es una constante de integración. Para determinar \( C_1 \), utilizamos la condición dada en el problema: **cuando \( t = 1 \), la velocidad es 20**. Entonces:

\[
f'(1) = 1^2 + 7(1) + C_1 = 20
\]

\[
1 + 7 + C_1 = 20
\]

\[
C_1 = 12
\]

Por lo tanto, la función de velocidad es:

\[
f'(t) = t^2 + 7t + 12
\]

### Paso 2: Obtener la función de posición \( f(t) \)

La posición se obtiene integrando la velocidad \( f'(t) \):

\[
f(t) = \int (t^2 + 7t + 12) \, dt
\]

Resolvamos esta integral:

\[
f(t) = \int t^2 \, dt + \int 7t \, dt + \int 12 \, dt
\]

\[
f(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{7t^2}{2} + 12t + C_2
\]

Donde \( C_2 \) es otra constante de integración. Para determinar \( C_2 \), utilizamos la condición que nos proporciona el problema: **cuando \( t = 3 \), la posición es 300**. Entonces:

\[
f(3) = \frac{3^3}{3} + \frac{7(3^2)}{2} + 12(3) + C_2 = 300
\]

Calculamos los términos:

\[
f(3) = \frac{27}{3} + \frac{7(9)}{2} + 36 + C_2 = 300
\]

\[
f(3) = 9 + 31.5 + 36 + C_2 = 300
\]

\[
76.5 + C_2 = 300
\]

\[
C_2 = 223.5
\]

Por lo tanto, la función de posición es:

\[
f(t) = \frac{t^3}{3} + \frac{7t^2}{2} + 12t + 223.5
\]

### Paso 3: Desplazamiento en el intervalo \([6,12]\)

Ahora que tenemos la función de posición \( f(t) \), el desplazamiento que ha recorrido la partícula en el intervalo \([6,12]\) se calcula como:

\[
\Delta s = f(12) - f(6)
\]

Calculemos \( f(12) \):

\[
f(12) = \frac{12^3}{3} + \frac{7(12^2)}{2} + 12(12) + 223.5
\]

\[
f(12) = \frac{1728}{3} + \frac{7(144)}{2} + 144 + 223.5
\]

\[
f(12) = 576 + 504 + 144 + 223.5 = 1447.5
\]

Ahora, calculemos \( f(6) \):

\[
f(6) = \frac{6^3}{3} + \frac{7(6^2)}{2} + 12(6) + 223.5
\]

\[
f(6) = \frac{216}{3} + \frac{7(36)}{2} + 72 + 223.5
\]

\[
f(6) = 72 + 126 + 72 + 223.5 = 493.5
\]

Finalmente, el desplazamiento es:

\[
\Delta s = 1447.5 - 493.5 = 954
\]

### Respuesta final:

La partícula ha recorrido **954 unidades de distancia** en el intervalo de tiempo \([6,12]\).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular? O si tienes alguna otra pregunta, ¡déjame saber! 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para seguir explorando:

1. ¿Cómo afectaría el valor de la aceleración si fuera una constante en lugar de una función lineal?
2. ¿Qué pasaría si la velocidad inicial en \( t = 1 \) fuera diferente?
3. ¿Cómo se interpretan los puntos máximos y mínimos de la función de posición en el contexto del movimiento?
4. ¿Cómo afectaría al desplazamiento si cambiáramos los límites del intervalo, por ejemplo, \([3,8]\)?
5. ¿Cuál sería la velocidad promedio en el intervalo \([6,12]\)?

**Tip**: Siempre recuerda que las integrales te permiten pasar de la aceleración a la velocidad, y de la velocidad a la posición.

Por el inciso c), podrías ayudarme a solucionar desde ahí, pero muy bien explicado? Se tiene que hacer una integral definida en alguno de los pasos?

Learn how to calculate the distance traveled by a particle with acceleration f''(t) = 2t + 7, using integration to find the velocity and position functions. This step-by-step solution covers key calculus concepts such as definite integrals and kinematic equations.

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