Para resolver este ejercicio y encontrar la dimensión de la imagen de la transformación lineal $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$, debemos analizar cómo transforma los elementos de $\mathbb{R}^3$ en $\mathbb{R}^3$. La transformación está dada por:

$T(x_1, x_2, x_3) = (-x_1 + 4x_2 + x_3, x_1 + x_2 + x_3, -2x_1 + 3x_2)$

Para determinar la dimensión de la imagen de $T$, tenemos que calcular el rango de la transformación lineal, que corresponde al número de vectores linealmente independientes en la imagen. Esto lo haremos calculando la matriz asociada a $T$ y encontrando su rango.

Paso 1: Construcción de la matriz asociada a $T$

Para encontrar la matriz de $T$, observamos los coeficientes de $x_1$, $x_2$ y $x_3$ en cada componente de la transformación:

$T(x_1, x_2, x_3) = \begin{pmatrix} -x_1 + 4x_2 + x_3 \\ x_1 + x_2 + x_3 \\ -2x_1 + 3x_2 \end{pmatrix}$

La matriz asociada es:

$A = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

Paso 2: Cálculo del rango de la matriz

Para encontrar el rango de $A$, reducimos la matriz a su forma escalonada por filas (o simplemente calculamos su determinante si es cuadrada). Vamos a realizar reducción por filas:

1. Empezamos con la matriz: $\begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

2. Multiplicamos la primera fila por $-1$ y la sumamos a la segunda fila: $\begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 0 & 5 & 2 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

3. Multiplicamos la primera fila por $2$ y la sumamos a la tercera fila: $\begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 0 & 5 & 2 \\ 0 & 11 & 2 \end{pmatrix}$

4. Dividimos la segunda fila por $5$: $\begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} \\ 0 & 11 & 2 \end{pmatrix}$

5. Restamos $11$ veces la segunda fila de la tercera fila: $\begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & -\frac{4}{5} \end{pmatrix}$

6. Finalmente, multiplicamos la tercera fila por $-\frac{5}{4}$: $\begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Esta matriz escalonada muestra que hay tres filas no nulas, lo que indica que el rango de $A$ es $3$.

Conclusión

Como el rango de $A$ es $3$, la dimensión de la imagen de $T$ es $3$. Esto significa que la imagen de $T$ es todo $\mathbb{R}^3$.

La respuesta correcta es D) 3.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué significa la dimensión de la imagen en el contexto de transformaciones lineales?
2. ¿Cómo se relaciona el rango de una matriz con la dimensión de la imagen de una transformación lineal?
3. ¿Qué implicaciones tiene una transformación lineal con rango máximo?
4. ¿Cuáles son otras formas de calcular el rango de una matriz?
5. ¿Qué relación existe entre la dimensión del núcleo y la dimensión de la imagen de una transformación?

Tip: Para saber si una transformación lineal es inyectiva, verifica si el núcleo contiene únicamente el vector cero.