Soal ini menanyakan tentang dua vektor:

$\vec{A} = 5t^2 \hat{i} + t \hat{j} - t^3 \hat{k}$ $\vec{B} = \sin t \hat{i} - \cos t \hat{j}$

Dan diminta untuk menghitung turunan terhadap waktu dari dua hal:

1. $\frac{d}{dt} (\vec{A} \cdot \vec{B})$
2. $\frac{d}{dt} (\vec{A} \times \vec{B})$

a) Menghitung $\frac{d}{dt} (\vec{A} \cdot \vec{B})$

Vektor dot product ($\vec{A} \cdot \vec{B}$) untuk dua vektor diberikan oleh: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (5t^2)(\sin t) + (t)(-\cos t) + (-t^3)(0)$ Karena komponen $\hat{k}$ pada $\vec{B}$ adalah nol, kita bisa abaikan bagian ini.

Jadi: $\vec{A} \cdot \vec{B} = 5t^2 \sin t - t \cos t$

Sekarang, kita turunkan ini terhadap $t$: $\frac{d}{dt} (\vec{A} \cdot \vec{B}) = \frac{d}{dt} \left( 5t^2 \sin t - t \cos t \right)$ Untuk bagian pertama: $\frac{d}{dt} (5t^2 \sin t) = 10t \sin t + 5t^2 \cos t$

Dan untuk bagian kedua: $\frac{d}{dt} (-t \cos t) = -\cos t + t \sin t$

Jadi, hasil akhirnya: $\frac{d}{dt} (\vec{A} \cdot \vec{B}) = 10t \sin t + 5t^2 \cos t - \cos t + t \sin t$ Atau bisa disederhanakan menjadi: $\frac{d}{dt} (\vec{A} \cdot \vec{B}) = (10t + t) \sin t + (5t^2 - 1) \cos t$ Sehingga jawabannya: $\boxed{11t \sin t + (5t^2 - 1) \cos t}$

b) Menghitung $\frac{d}{dt} (\vec{A} \times \vec{B})$

Untuk cross product ($\vec{A} \times \vec{B}$), kita menggunakan aturan determinan:

$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5t^2 & t & -t^3 \\ \sin t & -\cos t & 0 \end{vmatrix}$

Hasil dari determinan ini adalah: $\vec{A} \times \vec{B} = \hat{i} \left( t(0) - (-t^3)(-\cos t) \right) - \hat{j} \left( 5t^2(0) - (-t^3)(\sin t) \right) + \hat{k} \left( 5t^2(-\cos t) - t(\sin t) \right)$ $\vec{A} \times \vec{B} = \hat{i} (-t^3 \cos t) - \hat{j} (-t^3 \sin t) + \hat{k} ( -5t^2 \cos t - t \sin t)$ $\vec{A} \times \vec{B} = -t^3 \cos t \hat{i} + t^3 \sin t \hat{j} + (-5t^2 \cos t - t \sin t) \hat{k}$

Sekarang, turunkan terhadap $t$: Untuk komponen $\hat{i}$: $\frac{d}{dt} (-t^3 \cos t) = -3t^2 \cos t + t^3 \sin t$

Untuk komponen $\hat{j}$: $\frac{d}{dt} (t^3 \sin t) = 3t^2 \sin t + t^3 \cos t$

Untuk komponen $\hat{k}$: $\frac{d}{dt} (-5t^2 \cos t - t \sin t) = -10t \cos t + 5t^2 \sin t - \sin t - t \cos t$

Jadi, jawabannya adalah: $\boxed{-3t^2 \cos t + t^3 \sin t \hat{i} + 3t^2 \sin t + t^3 \cos t \hat{j} + (-10t \cos t + 5t^2 \sin t - \sin t - t \cos t) \hat{k}}$

Apakah penjelasannya sudah cukup jelas? Ada yang perlu diperjelas lagi?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara melakukan turunan vektor dalam konteks fisika?
2. Apa perbedaan antara turunan dot product dan cross product?
3. Apa arti fisik dari cross product dalam konteks gerak?
4. Bagaimana cara menghitung determinan dalam kasus vektor tiga dimensi?
5. Mengapa komponen $\hat{k}$ pada vektor $\vec{B}$ tidak ada?

Tip: Dalam operasi vektor seperti cross product, urutan vektor sangat penting karena operasi ini tidak komutatif.