Давайте вычислим производную данной функции. Функция, которую вы предоставили, имеет вид:

$y = \frac{\cos(3x)}{x^3} - x^8 + 5x^3.$

Для вычисления производной $y'(x)$, будем использовать правила производной:

1. Правило частного: если $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, то $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$.
2. Правило суммы.
3. Производная степенной функции: $(x^n)' = n x^{n-1}$.
4. Производная тригонометрических функций: $(\cos(kx))' = -k\sin(kx)$.

Вычисления:

1. Производная первого слагаемого $\frac{\cos(3x)}{x^3}$: $u(x) = \cos(3x), \quad v(x) = x^3.$ $u'(x) = -3\sin(3x), \quad v'(x) = 3x^2.$ Применяя правило частного: $\left(\frac{\cos(3x)}{x^3}\right)' = \frac{(-3\sin(3x))x^3 - (\cos(3x))(3x^2)}{x^6}.$ После упрощения: $\frac{\cos(3x)}{x^3}' = \frac{-3x^3\sin(3x) - 3x^2\cos(3x)}{x^6} = \frac{-3x\sin(3x) - 3\cos(3x)}{x^4}.$

2. Производная второго слагаемого $-x^8$: $\left(-x^8\right)' = -8x^7.$

3. Производная третьего слагаемого $5x^3$: $\left(5x^3\right)' = 15x^2.$

Общая производная:

Собираем всё вместе: $y'(x) = \frac{-3x\sin(3x) - 3\cos(3x)}{x^4} - 8x^7 + 15x^2.$

Ответ:

$y'(x) = \frac{-3x\sin(3x) - 3\cos(3x)}{x^4} - 8x^7 + 15x^2.$

Хотите подробное объяснение какого-либо шага?

Связанные вопросы:

1. Как применяется правило частного для более сложных функций?
2. Как записывать производные для комбинаций тригонометрических и степенных функций?
3. Можно ли упростить полученное выражение для производной?
4. Какие еще методы существуют для проверки правильности вычислений производной?
5. Как найти точки, где производная равна нулю?

Совет: Всегда проверяйте, можно ли упростить дробь после применения правила частного, чтобы получить более компактное выражение.