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Deriva la siguiente expresión. Expresa su resultado en los términos mas simples paso por paso

Para derivar la función \( y = \sqrt[3]{\frac{1}{1 + x^2}} \), utilizaremos la regla de la cadena. Aquí te muestro el proceso paso a paso:

1. **Reescribe la función**: La expresión puede reescribirse como:
   \[
   y = \left(\frac{1}{1 + x^2}\right)^{\frac{1}{3}}
   \]
   Esto nos permitirá aplicar la regla de la cadena más fácilmente.

2. **Aplica la derivada usando la regla de la cadena**: Para derivar \( y \) con respecto a \( x \), primero identificamos la función exterior y la función interior. 
   - Función exterior: \( u^{\frac{1}{3}} \), donde \( u = \frac{1}{1 + x^2} \).
   - Función interior: \( u = \frac{1}{1 + x^2} \).

   La derivada de la función exterior con respecto a \( u \) es:
   \[
   \frac{d}{du} \left( u^{\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}
   \]
   La derivada de la función interior \( u \) con respecto a \( x \) es:
   \[
   \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 + x^2} \right)
   \]

3. **Deriva la función interior**: Derivamos \( u = \frac{1}{1 + x^2} \) usando la regla del cociente:
   \[
   \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 + x^2} \right) = \frac{0 \cdot (1 + x^2) - 1 \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{-2x}{(1 + x^2)^2}
   \]

4. **Combina las derivadas**: Ahora, combinamos las derivadas de la función exterior e interior:
   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{-2x}{(1 + x^2)^2}
   \]
   Reemplazamos \( u \) por su expresión original \( \frac{1}{1 + x^2} \):
   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1 + x^2} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{-2x}{(1 + x^2)^2}
   \]

5. **Simplifica la expresión**:
   La fracción \( \left( \frac{1}{1 + x^2} \right)^{-\frac{2}{3}} \) es equivalente a \( (1 + x^2)^{\frac{2}{3}} \). Entonces:
   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{3} \cdot \frac{(1 + x^2)^{\frac{2}{3}}}{(1 + x^2)^2}
   \]
   Simplificando más:
   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{-2x \cdot (1 + x^2)^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot (1 + x^2)^{2}}
   \]
   Esto se puede simplificar a:
   \[
   \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{3 \cdot (1 + x^2)^{\frac{4}{3}}}
   \]

Así, la derivada simplificada de la función es:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{3 \cdot (1 + x^2)^{\frac{4}{3}}}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías explorar:

1. ¿Cómo se derivan funciones con exponentes fraccionarios en general?
2. ¿Qué es la regla de la cadena y cómo se aplica a funciones compuestas?
3. ¿Cómo se utiliza la regla del cociente en otros contextos?
4. ¿Cómo se puede interpretar la derivada obtenida en términos de crecimiento o decrecimiento de la función?
5. ¿Cómo se pueden usar las derivadas para encontrar máximos y mínimos de funciones?

**Tip:** Siempre es útil recordar que la simplificación de expresiones algebraicas tras la derivación puede llevar a formas más manejables, tanto para interpretación como para cálculo.

Deriva la siguiente expresión. Expresa su resultado en los términos más simples paso por paso.

Step-by-step solution to finding the derivative of y = (1/(1 + x^2))^(1/3) using the chain and quotient rules. This problem covers key calculus concepts suitable for university-level students.

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