Math Problem Statement

Deriva la siguiente expresión. Expresa su resultado en los términos mas simples paso por paso

Deriva la siguiente expresión. Expresa su resultado en los términos más simples paso por paso.

Solution

Para derivar la función y=11+x23y = \sqrt[3]{\frac{1}{1 + x^2}}, utilizaremos la regla de la cadena. Aquí te muestro el proceso paso a paso:

  1. Reescribe la función: La expresión puede reescribirse como: y=(11+x2)13y = \left(\frac{1}{1 + x^2}\right)^{\frac{1}{3}} Esto nos permitirá aplicar la regla de la cadena más fácilmente.

  2. Aplica la derivada usando la regla de la cadena: Para derivar yy con respecto a xx, primero identificamos la función exterior y la función interior.

    • Función exterior: u13u^{\frac{1}{3}}, donde u=11+x2u = \frac{1}{1 + x^2}.
    • Función interior: u=11+x2u = \frac{1}{1 + x^2}.

    La derivada de la función exterior con respecto a uu es: ddu(u13)=13u23\frac{d}{du} \left( u^{\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}} La derivada de la función interior uu con respecto a xx es: ddx(11+x2)\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 + x^2} \right)

  3. Deriva la función interior: Derivamos u=11+x2u = \frac{1}{1 + x^2} usando la regla del cociente: ddx(11+x2)=0(1+x2)12x(1+x2)2=2x(1+x2)2\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 + x^2} \right) = \frac{0 \cdot (1 + x^2) - 1 \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{-2x}{(1 + x^2)^2}

  4. Combina las derivadas: Ahora, combinamos las derivadas de la función exterior e interior: dydx=13u232x(1+x2)2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{-2x}{(1 + x^2)^2} Reemplazamos uu por su expresión original 11+x2\frac{1}{1 + x^2}: dydx=13(11+x2)232x(1+x2)2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1 + x^2} \right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{-2x}{(1 + x^2)^2}

  5. Simplifica la expresión: La fracción (11+x2)23\left( \frac{1}{1 + x^2} \right)^{-\frac{2}{3}} es equivalente a (1+x2)23(1 + x^2)^{\frac{2}{3}}. Entonces: dydx=2x3(1+x2)23(1+x2)2\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{3} \cdot \frac{(1 + x^2)^{\frac{2}{3}}}{(1 + x^2)^2} Simplificando más: dydx=2x(1+x2)233(1+x2)2\frac{dy}{dx} = \frac{-2x \cdot (1 + x^2)^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot (1 + x^2)^{2}} Esto se puede simplificar a: dydx=2x3(1+x2)43\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{3 \cdot (1 + x^2)^{\frac{4}{3}}}

Así, la derivada simplificada de la función es: dydx=2x3(1+x2)43\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{3 \cdot (1 + x^2)^{\frac{4}{3}}}

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrías explorar:

  1. ¿Cómo se derivan funciones con exponentes fraccionarios en general?
  2. ¿Qué es la regla de la cadena y cómo se aplica a funciones compuestas?
  3. ¿Cómo se utiliza la regla del cociente en otros contextos?
  4. ¿Cómo se puede interpretar la derivada obtenida en términos de crecimiento o decrecimiento de la función?
  5. ¿Cómo se pueden usar las derivadas para encontrar máximos y mínimos de funciones?

Tip: Siempre es útil recordar que la simplificación de expresiones algebraicas tras la derivación puede llevar a formas más manejables, tanto para interpretación como para cálculo.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Calculus
Derivative
Chain Rule
Quotient Rule

Formulas

y = (1/(1 + x^2))^(1/3)
Derivative of u^n with respect to u: du/dx = n * u^(n-1) * (du/dx)
Quotient Rule: (d/dx)[f(x)/g(x)] = (g(x) * f'(x) - f(x) * g'(x))/(g(x))^2

Theorems

Chain Rule
Quotient Rule

Suitable Grade Level

University Level (Calculus)