La oss gå gjennom derivasjonene trinnvis:

Enkle oppgaver:

1. Deriver funksjonen $f(x) = (x^2 + 1)^3$:

   • Her må vi bruke kjerneregelen. $f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$

2. Deriver funksjonen $g(x) = \sin(2x)$:

   • Også her må vi bruke kjerneregelen. $g'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$

3. Deriver funksjonen $h(x) = 3x + 5$:

   • Dette er en lineær funksjon, så den deriverte er konstant. $h'(x) = 3$

4. Deriver funksjonen $k(x) = e^{4x}$:

   • Her bruker vi at den deriverte av $e^{u}$ er $e^{u} \cdot u'$. $k'(x) = e^{4x} \cdot \frac{d}{dx}(4x) = 4e^{4x}$

Litt mer utfordrende oppgaver:

5. Deriver funksjonen $f(x) = (3x^2 + 2x)^5$:

   • Bruk kjerneregelen: $f'(x) = 5(3x^2 + 2x)^4 \cdot \frac{d}{dx}(3x^2 + 2x) = 5(3x^2 + 2x)^4 \cdot (6x + 2) = 5(3x^2 + 2x)^4 (6x + 2)$

6. Deriver funksjonen $g(x) = \cos(5x - 2)$:

   • Bruk kjerneregelen: $g'(x) = -\sin(5x - 2) \cdot \frac{d}{dx}(5x - 2) = -\sin(5x - 2) \cdot 5 = -5\sin(5x - 2)$

7. Deriver funksjonen $h(x) = \ln(7x + 4)$:

   • Bruk kjerneregelen for naturlig logaritme: $h'(x) = \frac{1}{7x + 4} \cdot \frac{d}{dx}(7x + 4) = \frac{1}{7x + 4} \cdot 7 = \frac{7}{7x + 4}$

8. Deriver funksjonen $k(x) = \tan(3x)$:

   • Bruk kjerneregelen og at $\frac{d}{dx}(\tan(u)) = \sec^2(u)$: $k'(x) = \sec^2(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = \sec^2(3x) \cdot 3 = 3\sec^2(3x)$

Utfordrende oppgaver:

9. Deriver funksjonen $f(x) = (2x^3 - x + 1)^4$:

   • Kjerneregelen igjen: $f'(x) = 4(2x^3 - x + 1)^3 \cdot \frac{d}{dx}(2x^3 - x + 1) = 4(2x^3 - x + 1)^3 \cdot (6x^2 - 1)$

10. Deriver funksjonen $g(x) = (2x - 3)^3$:

    • Kjerneregelen: $g'(x) = 3(2x - 3)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x - 3) = 3(2x - 3)^2 \cdot 2 = 6(2x - 3)^2$

11. Deriver funksjonen $h(x) = e^{\sin(x^2)}$:

    • Bruk kjerneregelen to ganger: $h'(x) = e^{\sin(x^2)} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x^2)) = e^{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = e^{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot 2x$ $h'(x) = 2xe^{\sin(x^2)}\cos(x^2)$

12. Deriver funksjonen $k(x) = \ln(x^2 + 1)$:

    • Bruk kjerneregelen for logaritme: $k'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Ekstra utfordrende oppgaver:

13. Deriver funksjonen $f(x) = \cos(\ln(2x + 1))$:

    • Kjerneregelen: $f'(x) = -\sin(\ln(2x + 1)) \cdot \frac{d}{dx}(\ln(2x + 1)) = -\sin(\ln(2x + 1)) \cdot \frac{2}{2x + 1}$ $f'(x) = -\frac{2\sin(\ln(2x + 1))}{2x + 1}$

14. Deriver funksjonen $g(x) = e^{\tan(x^3)}$:

    • Kjerneregelen: $g'(x) = e^{\tan(x^3)} \cdot \frac{d}{dx}(\tan(x^3)) = e^{\tan(x^3)} \cdot \sec^2(x^3) \cdot 3x^2$ $g'(x) = 3x^2 e^{\tan(x^3)} \sec^2(x^3)$

Vil du ha en nærmere forklaring på noen av oppgavene? Her er 5 relaterte spørsmål:

1. Hva er kjerneregelen og hvordan brukes den?
2. Hvordan deriverer man en eksponentialfunksjon som $e^x$?
3. Hva er forskjellen på derivasjon av trigonometriske og inverse trigonometriske funksjoner?
4. Hvordan bruker man produktregelen ved derivasjon?
5. Når skal man bruke logaritmisk derivasjon?

Tips: Når du bruker kjerneregelen, husk alltid å derivere den "indre" funksjonen til slutt.