Vamos calcular a derivada da função $f(x) = e^{2x} \cdot (3x^2 - 1)$ utilizando a regra do produto, que diz que se temos uma função na forma $f(x) = g(x) \cdot h(x)$, a derivada de $f(x)$ é dada por:

$f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$

Neste caso, temos:

• $g(x) = e^{2x}$
• $h(x) = 3x^2 - 1$

Agora, vamos derivar cada parte:

1. Derivada de $g(x) = e^{2x}$:

   • A derivada de $e^{2x}$ em relação a $x$ é $2e^{2x}$ (aplicando a regra da cadeia).

2. Derivada de $h(x) = 3x^2 - 1$:

   • A derivada de $3x^2 - 1$ em relação a $x$ é $6x$.

Agora, aplicamos a regra do produto:

$f'(x) = \left( 2e^{2x} \cdot (3x^2 - 1) \right) + \left( e^{2x} \cdot 6x \right)$

Logo, a derivada de $f(x)$ é:

$f'(x) = 2e^{2x}(3x^2 - 1) + 6xe^{2x}$

Se precisar de mais detalhes sobre como isso foi feito ou tiver dúvidas, posso explicar mais profundamente!

Perguntas relacionadas:

1. O que é a regra do produto e como aplicá-la em outras funções?
2. Como a regra da cadeia influencia a derivada de funções exponenciais?
3. Quais são outras técnicas de derivação além da regra do produto?
4. Como simplificar expressões com exponenciais e polinômios multiplicados?
5. Como verificar a precisão de uma derivada utilizando a definição de limite?

Dica:

Sempre que se deparar com uma função do tipo produto, aplique a regra do produto corretamente e lembre-se de tratar cada função separadamente para derivar!